一、二次函数与圆综合
【例1】 已知：抛物线2:(1)(2)M y x m x m =+-+-与x 轴相交于12(0)(0)A x B x ，，，两点，
且12x x <．
（Ⅰ）若120x x <，且m 为正整数，求抛物线M 的解析式；
（Ⅱ）若1211x x <>，，求m 的取值范围；
（Ⅲ）试判断是否存在m ，使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点(02)C ，
，若存在，求出2:(1)(2)M y x m x m =+-+-的值；若不存在，试说明理由；
（Ⅳ）若直线:l y kx b =+过点(07)F ，，与（Ⅰ）中的抛物线M 相交于P Q ，两点，且使
1
2
PF FQ =，求直线l 的解析式．
【例2】 已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式
2y x =-+并且线段CM
的长为（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的
长。

（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

【例3】 已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y kx k =-的图象与x 轴交于点A ，抛物线
2
y ax bx c
=++经过O ，A 两点． ⑴试用含a 的代数式表示b ； ⑵设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧 沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的 解析式； ⑶设点B 是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点
P ，使得4
3
POA OBA =∠∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
B
例题精讲
二次函数与圆综合
【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，
AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)． ⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．
【例5】 如图，点()40M ，，
以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物21
6
y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． ⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．
⑵ 点()8Q m ，在抛物线21
6
y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ PB + 最
小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．
【例6】 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1
l 经过点()20A -，和点0B ⎛
⎝
，直线
2l 的函数表达式
为y =+1l 与2l 相交于点P ．C ⊙是一个动圆，圆心C 在直线1l 上运动，设圆心C 的横坐标是a ．过点C 作CM x ⊥轴，垂足是点M ． ⑴ 填空：直线1l 的函数表达式是 ，交点P 的坐标是 ，FPB ∠的度数是 ；
⑵ 当C ⊙和直线2l
相切时，请证明点P 到直线CM 的距离等于C ⊙的半径R ，并写出2R = 时a 的值． ⑶
当C ⊙和直线2l 不相离时，已知C ⊙的半径2R =，记四边形NMOB 的面积为S (其中点N
是直线CM 与2l 的交点)．S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a 的值；若不存在，请说明理由．
【例7】 已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与
二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过
()01-，点．
⑴ 求一次函数与二次函数的解析式； ⑵ 判断以线段tan x CA α=⋅为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明； ⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x 轴交于
M N ，两点，一次函数图象交y 轴于F 点．当t 为何值时，过F
M N ，，三点的圆的面积最小？
最小面积是多少？
【例8】 如图1，O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为()50，，顶点D 在O 上运动．
⑴ 当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时，试证明直线CD 与O 相切；
⑵ 当直线CD 与O 相切时，求OD 所在直线对应的函数关系式； ⑶ 设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S
的最
大值与最小值．
图1
【例9】 如图，已知点A 从()10，
出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O A ，为顶点作菱形OABC ，使点B C ，在第一象限内，且60AOC ∠=︒；以()03P ，
为圆心，PC 为半径作圆．设点A 运动了t 秒，求：
⑴ 点C 的坐标（用含t 的代数式表示）； ⑵ 当点A 在运动过程中，所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．
【例10】 已知：抛物线2
y ax bx c =++()0a ≠，顶点()13C -，，与x 轴交于A 、B 两点，()10A -，．
⑴ 求这条抛物线的解析式．
⑵ 如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、
E ，
点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合)，过点P 作PM AE ⊥于M ，PN DB ⊥于N ，请判断PM PN
BE AD
+
是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． ⑶ 在⑵的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG EP ⊥，FG 分别与边．AE 、BE 相交于
点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合)，请判断PA EF
PB EG
=
是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【例11】 如图，已知点A 的坐标是()10-，，点B 的坐标是()90，，以AB 为直径作O ' ，交y 轴的负半
轴于点C ，连接AC 、BC ，过A 、B 、C 三点作抛物线．
⑴ 求抛物线的解析式； ⑵ 点E 是AC 延长线上一点，BCE ∠的平分线CD 交O ' 于点D ，连结BD ，求直线BD 的解析式； ⑶ 在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得PDB CBD ∠=∠？如果存在，请求出点P 的坐标；
如果不存在，请说明理由．
E
【例12】 已
知：如图，抛物线213y x m =+与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，90ACB ∠=︒ ⑴ 求m 的值及抛物线顶点坐标； ⑵ 过A B C ，，的三点的M ⊙交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交M ⊙于点E ，过E 点的M
⊙的切线分别交x 轴、y 轴于点F G ，，求直线FG 的解析式；
⑶ 在条件⑵下，设P 为 CBD
上的动点(P 不与C D ，重合)，连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH AP k ⋅=，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．
【例13】 已知二次函数2
12
y x bx c =
++的图象经过点()36A -，，并与x 轴交于点()10B -，
和点C ，顶点为P ． ⑴ 求这个二次函数的解析式，并在直角坐标系中画出该二次函数的图象； ⑵ 设D 为线段OC 上的一点，满足DPC BAC ∠=∠，求点D 的坐标； ⑶ 在x 轴上是否存在一点M ，使以M 为圆心的圆与AC PC ，所在的直线及y 轴都相切？如果存
在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【例14】 已知⊙
O 的半径为1，以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD ，顶点B 的
坐标为()
0，顶点A 在x 轴上方，顶点D 在⊙
O 上运动． ⑴ 当点D 运动到与点A 、O 在一条直线上时，CD 与⊙
O 相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD 所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由； ⑵ 设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，并求出S 的最大值和最小值．
【例15】 如图，将AOB ∆置于平面直角坐标系中，其中点O 为坐标原点，点A 的坐标为()30，，
60ABO ∠=︒． ⑴ 若AOB ∆的外接圆与y 轴交于点D ，求D 点坐标． ⑵ 若点C 的坐标为()10-，，试猜想过D C ，的直线与AOB ∆的外接圆的位置关系，并加以说明．
⑶ 二次函数的图象经过点O 和A 且顶点在圆上，求此函数的解析式．
【例16】 如图，直角坐标系中，已知两点()00O ，，()20A ，，
点B 在第一象限且OAB ∆为正三角形，OAB ∆的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ．
⑴ 求B C ，两点的坐标； ⑵ 求直线CD 的函数解析式； ⑶ 设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长．试探究：AEF ∆的最大面积？。