【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 1 页 共 12 页】湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）本试卷共6页，共23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡上。

在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}220A x x x =--< ，}0log |{2<=x x B ，则A B =A ． )2,1(-B ．)1,0(C ．)2,(-∞D ．)1,1(-2．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是A ． EB ．FC ． GD ．H3．已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为A ．10B ．40C ．30D ．204．已知非零向量m 、n 满足|n ||4=m |，且m 2(⊥m +n )，则m 、n 的夹角为小学 4500人初中 3500人高中 2000人【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 2 页 共 12 页】A ．3π B ．2π C ．32π D ．65π5．曲线2+=x xy 在点)1,1(--处的切线方程为 A ．12+=x y B ．12-=x y C ．22--=x y D ．32--=x y 6．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为 A ．53B ．54C ．158D ．2637．函数|sin y x x =｜在[],-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ．8．正三棱锥的正视图如图所示，则侧视图的面积为 A ．212 B ．312 C ．26 D ．36 9．设0.52a -=，3log b π=，4log 2c =，则【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 3 页 共 12 页】A ． b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>10．已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB ｜为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 A ．2B ．3C ．2D ．311．设数列}{n a 满足51=a ，且对任意整数n ，总有44)3)(3(1+=+++n n n a a a 成立，则数列}{n a 的前2018项的和为 A ．840-B ．835-C ．830-D ．825-12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点)2,0(，则C 的焦点到准线距离为 A ．4或8 B ．2或4C ．2或8D ．4或16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知数列{}n a 是等差数列（公差0≠d ），2a ，4a ，8a 成等比数列，则该等比数列的公比为______．14．设x 、y 满足不等式组10401--⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥x y x y y ，则y x z +=2的最大值为 ．15. 511()(2)x x x x+-的展开式中，常数项为______．16. 点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，3===AC BC AB ，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且222b c a +=，32c a =【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 4 页 共 12 页】（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）若6a =，求△ABC 的面积.18．如图，在四棱锥ABCD P -中，△PAB 、△PBC 、△ACD 均为等边三角形，BC AB ⊥．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值．19．电动车企业生产每台车的利润与车首次出现故障的时间有关．某厂家生产甲、乙两种型号电动车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种型号电动车中各随机抽取50台，统计数据如下：将频率视为概率．（Ⅰ）从该厂生产的甲、乙两种型号电动车中随机各抽取一台，求至少有一台首次出现故障发生在保修期内的概率；（Ⅱ）若该厂生产的电动车均能售出，记生产一台甲型号的车利润为1X ，生产一台乙型号的车利润为2X ，若该厂预计今后这两种型号电动车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种型号．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种型号的电动车？并说明理由．PABCD【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 5 页 共 12 页】20. （本小题满分12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22198x y C +=：交于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t (0)t >.（Ⅰ）证明：13k <-；（Ⅱ）设F 为C 的右焦点，Q 为C 上的一点，且=++−→−−→−−→−FB FA FQ 0，证明：FA ，FQ ，FB 成等差数列.21.（本小题满分12分）函数()2ln f x x x ax =+（a 为常数）有两个极值点1x ，2x （12x x <）．（Ⅰ）证明：021<<-a ； （Ⅱ）证明：()()2112f x f x >>-．【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 6 页 共 12 页】请考生在第22、23二题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数1|72|)(+-=x x f . （Ⅰ）求不等式()≤f x x 的解集；（Ⅱ）若存在x 使不等式()2|1|--≤f x x a 成立，求实数a 的取值范围.湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. D3. B4. C5. A6. A7. A8. D9. A 10. B 11. B 12. C11.解：∵数列{a n }满足a 1=5，且对任意整数n ，总有（a n+1+3）（a n +3）=4a n +4成立，【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 7 页 共 12 页】∴8（a 2+3）=24，解得a 2=0，3（a 3+3）=4，解得34548,(3)333=-+=-a a ，解得a 4=﹣5，﹣2（a 5+3）=﹣16， 解得a 5=5．∴数列{a n }是以4为周期的数列，且123453+++=-a a a a ，∴20185504()508353=⨯-++=-S ．12.解：MF 的中点记为N ，则2522)25(2=+-=+=p p x x x F M N ，即N 到y 轴的距离为|MF ｜ 的一半。

所以圆与y 轴的切点），（20H ，x NH //轴，)2,25(N ，)4,25(pM -，代入px y 22=得82016102==⇒=+-p p p p 或． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 2； 14.7 ； 15.40； 16.16289π． 16.提示：O 为球心，O '为ABC ∆的中心，易知当O D '过球心O 时四面体ABCD 的体积最大．4=△ABC S，13-'==△D ABC ABC V S DO 4='O D连结O C '并延长交AB 于E ，2360sin ==AC CE ，1='O C ，由222O C O O OC '+'=，OD OC =得：1)4(22+-=OD OD ，所以817=OD ， 所以表面积16289)817(42ππ=⋅=S ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得222cos 2b c a A bc +-===………………………………………………1分 ∵π<<A 0∴6A π=. ………………………………………………………………………………2分由32c a =及正弦定理可得：3sin 2sin C A =，∴21sin sin 33C A ==. ………………………………………………………………4分【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 8 页 共 12 页】（Ⅱ）由32c a =知c a <，所以C 为锐角，cos 3C ===， …………………………………………5分 所以sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+ ………………………………………6分C A C A sin cos cos sin += …………………………………………7分 6223+=………………………………………………………8分 由6a =及32c a =可得出4c =，…………………………………………………9分所以11sin 64226S ac B ==⨯⨯⨯=. …………………12分 18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：设AC 与BD 交于点O ，连结PO ，……………1分因为CB AB =,CD AD =，BD 为公共边， 所以△ABD ≌△CBD ，所以∠ABD =∠CBD ，又CB AB =，所以AC ⊥BD ，……………………2分 且O 为AC 中点．又P A =PC ，所以PO ⊥AC ， 又AB ⊥BC ，所以OA =OB =OC ，结合P A =PB ， 可得Rt △POA ≌Rt △POB ，所以∠POB =∠POA =90°，即PO ⊥OB ，又OA 故PO ⊥平面ABCD 又BD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥BD ．又PO ∩AC =O ，所以BD ⊥平面P AC （Ⅱ）解：以O 为原点，建立空间直角坐标系O ﹣不妨设OA=1，易得OP=1，OD=3， 则P （0，0，1），B （﹣1，0，0）， C （0，1，0），D （3，0，0），所以)1,1,0(-=PC ，)0,1,1(=BC ，)0,1,3(-=CD ，………………………8分 设平面PBC 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=-=⋅0y x z y ，取)1,1,1(-=， 设直线CD 与平面PBC 所成角为θ，则6333213|||||||,cos |sin +=⨯+=⋅=><=CD n θ． …………………10分 PABCDO【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 9 页 共 12 页】所以CD 与平面PBC 所成角的正弦值为633+．………………………………12分 19. （本小题满分12分）（Ⅰ）设“甲、乙两型号的车至少有一台首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则=)(A P 45451915050100-⋅=. ………………………………………………………3分 （Ⅱ）依题意得，1X 的分布列为………………………………………………7分2X 的分布列为 …………………………………………9分∴)(1X E ＝286109300503200251100=⨯+⨯+⨯，………………………………10分 4.2785045290504180501150)(2=⨯+⨯+⨯=X E ．………………………………11分因为)()(21X E X E >，所以应生产甲型号的电动车．………………………………12分 20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(189 )1(18922222121 yx yx ………………………………………………2分 （1）- （2）得08))((9))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．∵ 121222x x y y t +=+=，． ∴08)(29)(22121=-+-y y t x x ． ………………………………………………3分 ∴ 121289y y k x x t-==--．……………………………………………………………4分【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 10 页 共 12 页】由题设可知点),1(t M 在椭圆内，∴18912<+t ，解得803t <<，∴818319983k t =-⋅<-⋅=-． ……………………………………………………5分（Ⅱ）∵=++−→−−→−−→−FB FA FQ 0，M 为AB 的中点，∴ 2FQ FM =-， …………………………………………………………………6分 ∵),1(t M ，∴(1,2)Q t -．∵点(1,2)Q t -在椭圆上，∴214198t +=． ………………………………………7分 又 0t > ∴ 43t =． ………………………………………………………………8分由（Ⅰ）知89k t =-，所以23k =-．∴直线l 的方程为)1(3234--=-x y ，即2+23y x =-．…………………………9分由直线l 的方程与椭圆方程联立，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=18923222y x x y 消y 化简得2230x x --=，解得1213x x =-=，． …………………………10分 从而得8(1,)3A -，(3,0)B ， 又8(1,0)(1,)3F Q -，， ∴ 10(3FA =-=，83FQ =，2FB =．…………………11分∴ FA ，FQ ，FB 成等差数列. ………………………………………………12分21. （本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由已知得()ln 12(0)'=++>f x x axx ,由题意得()0'=f x 有两个不等实根1212,()x x x x < ， …………………………1分 设()ln 21g x x ax =++ 则 1()2(0)'=+>g x a x x……………………………2分【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 11 页 共 12 页】①当0≥a 时，()0'>g x ,所以()g x 是增函数,不符合题意; …………………3分 ②当0a < 时，由()0'=g x 得:102x a =-> .……………………………………4分 列表如下:依题意:11()ln()022g a a -=-> ,解得:102a -<<. 综上所求: 102a -<<得证.………………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知:(),()'f x f x 变化如下:由表可知:()f x 在12[,]x x 上为增函数，所以:21()()f x f x > ……………………7分 又(1)(1)210'==+>f g a , 故1(0,1)x ∈ ………………………………………8分 由(Ⅰ)知:111ln 2x ax --=,2111111111()ln (x ln )(01)2f x x x ax x x x =+==-<< ……………………………………………………………………………………………10分 设1()(ln )(01)2h x x x x x =-<< ,则1()ln 02'=<h x x 成立,所以()h x 单调递减, ……………………………………………………………………………………………11分故:1()(1)2h x h >=- ,也就是11()2f x >- 综上所证: 211()()2f x f x >>-成立. ………………………………………………12分22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）对曲线1C ：3cos 22x =θ，22sin y =θ，∴曲线1C 的普通方程为1322=+y x ．…………………………………………2分【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 12 页 共 12 页】对曲线2C ：24)cos (sin 22)4sin(=+⋅=+θθρπθρ， ∴8cos sin =+θρθρ．∴曲线2C 的直角坐标方程为08=-+y x ．……………………………………5分 （Ⅱ）设曲线1C 上的任意一点为)sin ,cos 3(θθP ， ……………………………6分 则点P 到曲线2C ：08=-+y x 的距离2|8)3sin(2|2|8sin cos 3|-+=-+=πθθθd ，……………………………8分当1)3sin(=+πθ，即6πθ=时，23min =d ，此时点P 的坐标为)21,23(．…………………………………………………………………10分23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由()≤f x x 得：|27|1-+≤x x ， ……………………………………………1分∴270271-⎧⎨-+⎩≥≤x x x 或270271-<⎧⎨-++⎩≤x x x， 解得：762≤≤x 或8732≤≤x ．………4分∴不等式()≤f x x 的解集是]6,38[． ……………………………………………5分（Ⅱ）令1|1|2|72||1|2)()(+---=--=x x x x f x g ，则6,17()410,1274,2⎧⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪->⎪⎩≤≤x g x x x x ， ………………………………………………7分 ∴4)(min -=x g ． ……………………………………………………………………8分 ∵存在x 使不等式()2|1|--≤f x x a 成立，∴min ()≤g x a ．∴4-≥a ． ……………………………………………………………………………10分注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.。