应用数理统计复习题（2014）一 填空题 1设621,,,X X X 是总体)1,0(~N X 的一个样本，26542321)()(X X X X X X Y +++++=。

当常数C = 时，CY 服从2χ分布。

2 设统计量)(~n t X ，则~2X，~12X。

3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2σu N X 的一个样本，当常数C = 时，∑-=+-=11212)(n i i i X X C S 为2σ的无偏估计。

4 设)),0(~(2σεεβαN x y ++=，),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据。

对于固定的0x ，则0x βα+~ 。

5．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1.9，2，2，2.1， 2.5为样本，则λ的矩估计值为ˆλ＝ 。

6．设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 。

7．设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8221,10μ 令Y ＝X Y Y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛202121，则Y 的分布为 (要求写出分布的参数) 8．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）：表1 因素水平表表2 极差分析数据表则（1）较好工艺条件应为 。

（2）方差分析中总离差平方和的自由度为 。

（3）上表中的第三列表示 。

9．为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响，在山上建立观测站，测得连续10年的观测数据如下表（见表3）。

表3 最大积雪深度与灌溉面积的10年观测数据则y 关于x 的线性回归模型为 x y813.1356.2ˆ+= 10设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为 ，极大似然估计量为 。

11设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 。

12设总体X 在区间]1,[+θθ上服从均匀分布，则θ的矩估计=θˆ ；=)ˆ(θD 。

13设n X X ,,1 是来自正态总体),(2σμN 的样本，2,σμ均未知，05.0=α. 则μ的置信度为α-1的置信区间为 ；若μ为已知常数，则检验假设,::20212020σσσσ<↔≥H H （2σ已知），的拒绝域为 。

14设X 服从p 维正态),(∑μp N 分布，是来自n X X X ,,,21 X 的样本，则∑的最小方差无偏估计量=∑ˆ ；μ-X 服从 分布。

15设（X 1，…，X n ）为来自正态总体),(~∑μp N X 的一个样本,∑已知。

对给定的检验水平为α，检验假设0100::μμμμ≠↔=H H ，（0μ已知）的统计量为 拒绝域为 。

二 计算及证明题1 设21,X X 是来自总体),(~2σu N X 的一个样本。

（1）证明21X X +，21X X - 相互独立（2）假设0=u ，求221221)()(X X X X -+的分布 2设n X X X ,,,21 是总体)1,0(~N X 的一个样本，求统计量2121)(1)(1∑∑+==-+=nm i i m i i X m n X m Y 的抽样分布。

3 设总体)(~λE X （指数分布），n X X X ,,,21 是总体的一个样本，证明)2(~221n X ni i χλ∑=4 设总体)(~λP X （泊淞分布），n X X X ,,,21 是总体的一个样本，2S X 和为样本均值和样本方差，试求（1）n X X X ,,,21 的联合分布律 （2）)(),(),(2S E X D X E5设n X X X ,,,21 是总体X 的一个样本，试求下列总体的矩估计量和极大似然估计量。

（1）总体X 的分布律是),3,2,1()1()(1 =-==-k k X P k θθ，其中10<<θ未知参数。

（2）X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=-其他10)(1x x x f θθ（0>θ为待估计参数）6 设总体),(~2σu N X （方差已知），问需抽取容量n 多大时，才能使得总体均值μ的置信度为α-1的置信区间的长度不大于L ？7 为了检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机取50L ，化验每升水中大肠杆菌的个数（一升水中大肠杆菌的个数服从Poisson 分布），化验结果如下：试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时才能使得上述情况发生的概率最大？8设男生的身高服从正态分布，某系中喜欢参加体育运动的60名男生平均身高为172.6cm ，标准差为6.04cm ，而对运动不感兴趣的55名男生的平均身高为171.1cm ，标准差为7.10cm 。

试检验该系中喜欢参加运动的男生平均身高是否比其他男生高些。

（05.0=α）9 设有线性模型⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=+=3213221211122εββy εββy εβy ，其中)3,2,1)(,0(~2=i N i σε且相互独立，试求（1）21ββ和的最小二乘估计（2）给出21ββ和的分布并证明他们的独立性 （3）导出检验210:ββ=H 的检验统计量10 若总体X 服从正态分布()22.1,1N ，样本n X X X ,,,21 来自总体X ，要使样本均值X 满足不等式{}95.01.19.0≥≤≤X P ，求样本容量n 最少应取多少？11有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时):26.7， 22.0， 24.1， 21.0， 27.2， 25.0， 23.4.根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？()0.05.α=12设总体X 的概率密度为1,0(,)00x x e x f x x αλαλλ--⎧>=⎨≤⎩，其中λ>0是未知参数，α>0是已知常数，12,,...,n X X X 为样本，求λ的矩估计和极大似然估计。

13 设总体X 的概率密度为22(),0(,)0x x f x θθθθ-⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，其中θ>0是未知参数，12,,...,n X X X 为样本，求1）θ极大似然估计，2）总体均值μ的极大似然估计。

14 设总体X 的概率密度为233,0(,)0x x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，其中θ>0是未知参数， 12,X X 为样本。

1）证明：11221227(),(,)36T X X T max X X =+=都是θ的无偏估计。

2）比较12,T T 的有效性。

15 设总体X 服从参数为λ的泊松分布,对于假设01:0.5,:2H H λλ==，0H 的拒绝域为12{3}D X X =+≥，试求此检验问题犯第一类错误（弃真）及犯第二类错误（取伪）的概率。

16考虑一元线性回归模型： 01,1,2,..i i i Y X i n ββε=++=，其中i ε相互独立且服从2(0,)N σ分布，求参数01,ββ的极大似然估计，并证明它们是无偏估计。

17 考虑一元线性回归模型：01,1,2,..i i i Y X i n ββε=++=，其中i ε相互独立且服从2(0,)N σ分布，记11122121ˆˆ{...,,...,}/n nn A c Y c Y c Y c c c E βββ==+++=为常数，且，求A 中使得1ˆ()D β最小的1ˆβ 18 某种产品在生产时产生的有害物质的重量（单位：克）Y 与它的燃料消耗量（单位：千克）x 之间存在某种相关关系.由以往的生产记录得到如下数据.① 求经验线性回归方程；② 试进行线性回归的显著性检验（01.0=α）； ③ 试求x 0=340时Y 0的预测区间（05.0=α）. ④若要求有害物质的重量在250～280um 之间，问燃料消耗量应如何控制？（05.0=α） 19在某锌矿的南北两支矿脉中，各抽取样本容量分别为10与9的样本分析后， 算得其样本含锌（%）平均值及方差如下： 南支：1x =0.252，21S =0.140，1n =10北支：2x =0.281，22S =0.182，2n =9若南北两支锌含量均服从正态分布，且两样本相互独立，在α=0.05的条件下， 问南北两支矿脉含锌量的平均值是否有显著差异？已知：2439.0)8,9(975.0=F ，3572.4)8,9(025.0=F ，1098.2)17(025.0=t20设总体X 的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,00,5)(54θθx x x f ，θ的先验分布为⎩⎨⎧<<=其他,010,4)(3θθθπ， n X X ,,1 为来自总体X 的样本。

在平方损失下求θ的贝叶斯估计。

21设有三台机器A 、B 、C 制造同一种产品。

对每台机器观察5天的日产量。

记录如下（单位：件） A ： 41，48， 41， 57， 49 B ： 65，57， 54 ，72， 64 C ： 45，51， 48， 56， 48 试问：在日产量上各台机器之间是否有显著差异？（05.0=α）， 已知：79.3)12,2(05.0=F22设),(i i x Y 满足线性模型 i i i x x Y εββ+-+=)(10，),0(~2σεN i ，n i ,2,1=，∑==ni i X n x 11，诸i ε相互独立。

试求（1）参数T ),(10βββ=的最小二乘估计T )ˆ,ˆ(ˆ10βββ=； （2）10ˆ,ˆββ的方差；（3）2σ的无偏估计。

23单因素方差分析的数学模型为i j i j i i j i n j r i N X ,...,2,1;,...,2,1),,0(~,2==+=σεεμ，n n i ni =∑=1。

诸j i ε相互独立。

（1）试导出检验假设r r H H μμμμμμ,...,,::211210↔=== 中至少由两个不相等的统计量。

（2）求2σ的一个无偏估计量。

（3）设μμμμ====r 21，∑==i n j j i i i X n X 11，求常数C 使统计量∑=-=ri i X C 1||ˆμσ为σ的无偏估计.24车间里有5名工人，3台不同型号的机器生产同一种产品，现在让每个工人轮流在3台机器上操作，记录其日产量结果如下：试问这5位工人技术之间和不同型号机器之间对产量有无显著影响？)84.3)8,4(,46.4)8,2(,05.0(05.005.0===F F α25设有线性模型77665544332211332εεεεεεε+-=++=+-=++=+-=+-=++=b a Y b a Y b a Y b a Y b a Y b a Y b a Y其中7654321,,,,,,εεεεεεε相互独立且同服从正态),0(2σN 分布，（1）试求的最小二b a ,乘估计量b a ˆ,ˆ； （2）试求b a Yˆ5ˆˆ+=的概率分布。