函数的单调性与最值
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2
当x 1<x 2时，都有____________，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数
当x 1<x 2时，都有____________，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数
图象 描述
自左向右看图象是______
自左向右看图象是______
(2)单调区间的定义
若函数f (x )在区间
D 上是________或________，则称函数f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y ＝f (x )的单调区间.
2.函数的最值
前提
设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足
条件
(1)对于任意x ∈I ，都有________； (2)存在x 0∈I ，使得________.
(3)对于任意x ∈I ，都有________； (4)存在x 0∈I ，使得________.
结论
M 为最大值
M 为最小值
1. f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为__________；f (x )max ＝________.
2.函数f (x )＝2x
x ＋1
在[1,2]的最大值和最小值分别是________________.
3.已知函数y ＝f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)、B (－3,2)在其图象上，则不等式－2<f (x )<2的解集为________________________________________________________________.
4.下列函数f (x )中满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( ) A.f (x )＝1
x
B.f (x )＝(x －1)2
C.f (x )＝e 2
D.f (x )＝ln(x ＋1)
5.已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭
⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是 ( ) A.(－1,1)
B.(0,1)
C.(－1,0)∪(0,1)
D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
题型一 函数单调性的判断及应用
例1 已知函数f (x )＝x 2＋1－ax ，其中a >0. (1)若2f (1)＝f (－1)，求a 的值；
(2)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[0，＋∞)上为单调减函数； (3)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求a 的取值范围.
已知f (x )＝
x
x －a
(x ≠a ). (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围.
题型二 求函数的单调区间
例2 求函数2
12
log (32)x x -+的单调区间.
求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间.
题型三 抽象函数的单调性及最值
例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2
3
.
(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值.
函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝⎛⎭⎫
x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0. (1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的单调性并加以证明. (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域.
2.函数的单调性与不等式
函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2. 练习
一、选择题
1.(2010·北京)给定函数①y ＝1
2
x ，②y ＝12
log (1)x +，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋
1，其中在区间(0,1)上单调递减
的函数的序号是 ( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④ 2.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a
x ＋1
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A.(－1,0)∪(0,1) B.(－1,0)∪(0,1] C.(0,1)
D.(0,1]
3.已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值
( )
A.一定大于0
B.一定小于0
C.等于0
D.正负都有可能
二、填空题
4.函数f (x )＝x 2－2x －3的单调增区间为______________________________________.
5.设x 1，x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：
①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0； ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0； ③
f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0； ④f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
<0.
其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为________.(填序号)
6.已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是__________. 三、解答题
7.已知函数f (x )＝1a －1
x (a >0，x >0)，
(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数； (2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤1
2，2，求a 的值.
8.试讨论函数f (x )＝
ax
x 2－1
，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0).。