aij j i aij j jij (aij ij ) j 0 ，即： (aij ij ) j 0 。
②求 xi, j ?
xi x jij xi , j ij xi ( ij ) x j
（2）简写方程： ① a11 b hc11, a22 b hc22 , a33 b hc33 ，a12 a21 hc12 , a23 a32 hc23, ....
i 2,
i 3,
② ijl j Ti （应力边界条件）i：自由标；j：哑标 i=1 i=2 i=3
11l1 12l2 13l3 T1 ， xl xy m yz n X
21l1 22l2 23l3 T2 ， yxl y m yz n Y
aij i j amnmn
i lim 而 m
ilim j l jn m j l jn amn
liml jn 则 aij amn （定义）
aij aij
。
j
aij aij
引申定义二： 已知： 九个数 aij ， 一个矢量 证明： 给 aiji i 乘矢量 i 得 ， 若 aiji i ， 而 i ， 则 。
11 22 33 1 12 23 31 21 32 13 0
ij jk j i iiik ik
j k ik kk
= ik
ij jk km
a jij
i j
= im
aiij i j a j jj a j
liml jn aij amn
（二阶张量的转轴公式）
aij liml jn amn
规律的量称量 aij 为张量，记为 aij 。 引申定义一： 已知：九个数 aij
i ei ，两个矢量 j e j
，若 aij i j ——不变量（双
线性组合） ，则 aij aij 。 证明：
'
'
' ' e1 l11e1' l12 e2 l13e3 ' ' ' 即： e2 l21e1 l 22 e2 l23e3 ' ' ' e3 l31e1 l 32 e2 l33e3
' ' l l ee l e l e i j ik k jn n linl jnkn n k in jk
aij bij hcij
。
② ij mij sij （矩阵表示） ： 二．张量概念
标量：零阶张量： 3 矢量：一阶张量： 3 张量：二阶张量： 3 1.标量（Scalar）
T .t .m
0
1 3
1
2
9
分量（或元素）
绝对标量 与坐标选取无关的量称为不变量。
2. 矢量（Vector）

（旧坐标中） （新坐标中）
ui uj lij uj uilij
即 ui ujlij
uj uilij
即为矢量转轴公式（坐标变换） 。
引申定义： 已知：三个数 ai ，一个矢量 ui ei ， 若 ai ui ----不变量，则 ai ----构 成矢量；若 ai ---矢量， 则 ai ui ---不变量。 证明：
1 dx 2 dy 3 dz i ,i dxi 三重哑标 x y z
哑标：算式中重复出现的角标叫做哑标。 求和约定：在算式的某一项中，如果有某个角标重复出现，就表 示要对该角标自 1 至 n 的所有元素求和。
2 2 2 例： l1 l2 l3 1
即： lili 1 （i=1,2，3）
说明： （1）求和标号可用任何字母表示（或代替） 。
aibi ambm anbn ak bk ……
aij bj amk bk
（2）和式相乘，每一和式取不同标号。
ii = 11 22 33 x y z （二重哑标）
y z （ x y z ） （x ） ii ii （四重哑标）
aij x j bi =
j—求和标号，j=1,2,3； i—自由标号，i 取 1,2,3 之一。
i 1, a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 i 2, a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 i 3, a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
元素。 2.求和标号（哑标）: 同一项中的重复标号表示求和，顺序取 1,2,3，……。
ai bi a1b1 a2b2 a3b3 aij b j ai1b1 ai 2b2 ai 3b3
3 省略 i 1 哑标 3 省略 i 1
A Ae 1 1A 2e2 A 3e3 Ae i i 二重哑标
aiui aj uj （不变量） ai a jlij
又 uj uilij aiui ajlijui aju ' j
aiui aj uilij
aiui 为不变量。
则 ai ajlij
矢量 ai 故 ai 。
3.张量（Tensor） 定义：有量 aij 在坐标转换过程中满足：
且 ei e j = ij
lik l jk ij
又
' ' ' l ee i j lik ek l jne j lik ki k i ij
lik ki lij
4） ij 的应用 （1）更换字母标号： ① aij j i 0
i iij
（ ai a jij ）
31l1 32l2 33l3 T3 ， zxl zy m z n Z
1 1 u u (ui , j u j ,i ) （或 ij ( i j ) ） （几何方程） 2 2 x j xi
③ ij
11 (
u 1 u1 u1 ) x x 2 x1 x1
, , ── , , x y z x1 x2 x3 1 2 3 , , x y z
── ,i ── i,i
──
1 2 3 , , x1 x2 x3
注：1）角标符号：成组的符号和数组都可用一个带下角标的符 号表示，这种符号叫做角标符号。 2)角标符号后的括号在不引起误会的情况下常可省略。 3）如一个角标符号带有 m 个角标，每个角标取 n 个值，则 该角标符号代表了 nm 个元素。 如：aij (i, j 1, 2,3) ， 有 32 9 个
23 (
31 (
1 w u 1 1 u3 u1 ) zx ( ) rzx 2 x z 2 2 x1 x3
4.Kronecker delta：
ij
1, i j 0, i j
即 1） ij 的运算公式：
2 2 2 ij ij j i ii ii 11 = 22 33 3
（线性代数方程）
i 为方程的序号，代表等式的数目 又
aij x j bik yk Ci
anj x j bnk yk Cn
即：自由标号要改统一改，否则便不改。 例： ① aij , j Fi 0(或
ij x j Fi 0)
（平衡微分方程） i：自由标；j：哑标
i 1,
D : u.v.w ui
矢量与坐标选取有关，坐标系变化时要服从一定的规律。
x, y, z : D ui ei
x, y, z : D uj ej
ui ei uj ej ui ei ei uj ej ei ui ei ej uj ej ej
= 11 11 + 22 22 + 33 33
2 2 2 = 11 + 22 + 33
= x + y + z
2
2
2
而（ x y z ） （x ）= ii jj （二重哑标） y z = x2 + y2 + z2 + x y + x z + y x + y z + z x + z y A= Ai ei B= Bi ei AB= Ai ei Bi ei 3.自由标号： 同一项中不重复出现的标号称为自由标号。
补充讲义
求和约定与张量概念
雷君相编
上海理工大学
二 00 九年九月十六日
求和约定和张量概念
(以三维空间为例) 一、 求和约定 1．字母标号法 ①一点位置： x, y, z ── x1, x2 , x3 ── xi （ i 1, 2,3 ） ②一点位移： u , v, w ── u1, u2 , u3 ── u i （ i 1, 2,3 ） ③轴向单位矢： i, j , k ── e1, e2 , e3 ── ei （ i 1, 2,3 ） ④方向单位矢： l , m, n ── l1 , l2 , l3 ── li （ i 1, 2,3 ） ⑤一点应力状态： x , y , z , xy , yz , zx ── 11, 22 , 33 ,12 , 23 , 31 ( ij ji ) ( i, j 1, 2,3 ) ── ij ⑥一点应变状态： x , y , z , xy , yz , zx ── 11, 22 , 33 , 12 , 23 , 31 ── ii
ji
a jj
ee ei e j ij
1 1 11
2） ij 与单位矢的关系