I 0
1
0 21
22
23
ij
0 0 1 31 32 33
即相当于单位矩阵。
ij Ai
1 j A1
2 j A2
3 j A3
A1 A2
A3
Aj
j 1 j2 j 3
现在我们 以二维直 角坐标系 为例来看 看一个小 问题：
x2
x1'
x2' x2
x2' e2'
e2 e1'
x1'
在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的，晶体的 对称性的操作对应的坐标变换，一般使用三维正交直角坐标 系的变换就够了。本章中将只限于介绍这种坐标系中所定义 的张量。
2.1标量、矢量、张量
一、标量 在物理学中，有一些量是没有方向而言的，如温度、质
量、密度等，这些物理量只需要一个数值即可描述，我们把 这种物理量称为标量。
i'
j
xx12
( )
同样：xx12
1211''
1
2'
2 2'
x1' x2'
i
'
j
T
xx12''
由（）式得
x1 x2
i
'
j
1
xx12''
比较 :
i
'
j
T
i
'
j
1
[i' j ] 为正交矩阵
引用指标符号：
xi ij x j xi i j' x j'
由 xi x i j' j' ij' j'k xk
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量 的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换 时分量变换的规律。
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
S a1x1 a2 x2 an xn
n
n
S ai xi a j x j
i1
j 1
约定
S ai xi aj xj
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标， 表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这 样的指标为哑指标。
Aij xi y j A11x1 y1 A12 x1 y2 A13x1 y3 A21x2 y1 A22 x2 y2 A23x2 y3 A31x3 y1 A32 x3 y2 A33x3 y3
x1
e1 x1
令：αi' j cos(ei' ,e j ) ( i' , j 1,2 )
则：i' j
ccooss((ee12''
, ,
e1 ) e1 )
cos(e1' cos(e2'
, ,
e2 e2
) )
cos sin
sin
cos
于是：xx12''
12'1'1
1'2 2'2
xx12
Pi* aikTkla jlQ*j
令：P* T *Q* 则：T * AT A
令： Pi* Tij*Q*j 则： Tij* aikTkla jl
二阶张量 三阶张量 四阶张量
Tij* aik a jlTkl
Tij*k ail a jmaknTlmn
T* ijkl
aima jnakoalpTmnop
有些量虽然在坐标变换时数值不变，但其符号在第二类 点操作时发生改变，这称为赝标量。
二、矢量
有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、 电场强度等，这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描
述，称为矢量。取直角坐标系OX1X2X3,设有矢量 f ，在三 个坐标轴方向上的投影分别为 f 1, f 2, f 3 ，于是我们将 f 表 为： f ( f 1, f 2, f 3) 。
P* PA1 P A
a11 a21 a31
P1*
P2*
P3* P1
P2
P3 a12
a22
a32
a13 a23 a33
P* AP
P1* P2*
a11 a21
a12 a22
a13 P1
a23
P2
P3* a31 a32 a33 P3
P AP*
P1 a11
P2
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
J E
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
2.2 张量的数学定义
或简写为
3
e' i a eij j （i 1, 2 , 3) j 1
反之，有
3
ei ajie' j ( i 1, 2, 3) j 1
表示成矩阵形式为
e'1 e'2
a11 a21
a12 a22
a13 e1
a23
e2
e'3
a31
a32
a33 e3
将以上关系列成方阵形式则为
aij cos(e'i e j )
又 xi ik xk
ij' j'k ik
讨论上式的几何意义
说明
1 基矢量具有与坐标分量相同的变换规律 ei' i' je j ei ij' e j'
2 矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换 规律
vi' i' jv j vi ij' v j'
再看三维情况
ei e j ij
ei' e j' i' j'
X1 X2 X3 (老坐标轴)
（ 新坐标系） X1' a11 a12 a13
X2' a21 a22 a23
X3' a31 a32 a33
称9的a的分量组成的方阵称为坐标变换矩阵或方向余弦矩阵， 它简明的表示出了新老坐标之间变,其在旧坐标系中的分量为p1,p2,p3,
以此类推，若A,B是阶数各为m,n的张量，则A,B 分量的积构成一个m+n阶的张量C，称为A,B的积， 表示为C=AB。
三、张量的收缩
在三阶张量 Aijk ( i, j , k 1, 2, 3) 中，如果让 j k
并对 j求和，即
3
Ci Aijj (i 1, 2,3)
j 1
则 Ci (i 1, 2,3) 为一阶张量，此种运算称为张量的收缩。
Tij akialjTk*l
Tijk ali amjankTlm* n
Tijkl
ami anj
aok
a
T*
pl mnop
张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量
i' j'k'l'
i'i j' j k 'k
ijkl
ijkl
ii' jj' kk' ll '
a12
a21 a22
a31 a32
PP12**
P3 a13 a23 a33 P3*
Pi* aij Pj
Pi ajiP* j
二阶张量的变换
P* P Q Q*
P、Q均为矢量
若有：P* AP P TQ Q AQ*
P* AT AQ*
若有： Pi* aik Pk Pk TklQl Ql a jlQ*j
考虑一位置矢量
x x je j x j' e j' x je j ei' x j' e j' ei' x j cos(e j ,ei' ) x j' j'i' xi'
xi' i' j x j
同理
xi x ij' j'
同二维问题，可得
ij' j'k
ik
（正交性）
于是得到最终的矢量变换法则如下
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Aij, Bij (i, j 1, 2,3) 皆为二阶张量，则
Cij Aij Bij (i, j 1, 2,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij , Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
与赝标量概念相似，我们可以引入赝矢量，赝矢量与矢 量的区别在于其变换多了一个符号的改变。例如各种轴矢量 （磁场强度、磁感应强度等）就是赝矢量。
三、张量 先看一个例子：对于均匀导体，在电场强度E的作用下，其 电流密度J和电场强度E有相同方向，即均匀导体的欧姆定律
J E
其中σ为电导率，是标量。
但是对于晶体，由于各向异性，一般情况下J与E并不具 有相同的方向，此时J与E的关系变为
1 同一个方程中各项自由标必须相同
2 不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
如： a ji xi bj
aki xi bj aki xi bk
wrong right
3．克罗内克（Kronecker-δ）符号
定义： ij 10