不动点和压缩影射的原理及其应用
摘要：学习了数学分析中一些不动点问题的解题方法和递推数列的极限，将不动点和压缩映像原理运用到求一些极限问题中，使我们更容易去解决关于数列极限存在性和如何快速求出极限的值。

关键词：不动点压缩影射递推数列应用
自从波兰数学家巴拿赫在1992年提出了有关压缩映像在完备的度量空间必然存在唯一的不动点的一些理论。

而后，许多数学工作者投入的大量的时间来研究，并取得了一些丰硕的成果。

今天，不动点和压缩映像原理在我们日常生活中运用十分广泛。

不动点原理在数学分析，常微方程，积分方程等很多地方都有它的应用。

而压缩映像可以用于证明一些简单的隐函数存在定理，特别是在求一些递推数列中。

然而在不少数学分析教材中一般不介绍它，这给我们带来许多问题的困扰。

建议老师将它放在微分中值定理和数列柯西收敛准则后学习，这样可以让学生更进一步了解泛函分析。

1 不动点和压缩映像定义及原理
定义1 设X为一个非空集合，映射T是X到X的一个映射，如果存在x*X使得Tx*=x*
则称x *是T的一个不动点。

定义2 设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数c ，0<c<1,使得对所有的x ,yX ,p(Tx ,Ty）<=c p(x ,y) ,则T是压缩映射。

（几何上的意思就是点x和y 经过T映射后，它们的像的距离缩小了，没有超过p(x，y）的c倍
(c<1).[]1。