因式分解的高级方法一．双十字相乘法1．双十字相乘法原理计算()()22235316731385x y x y x xy y x y -++-=--++-．从计算过程可以发现，乘积中的二次项22673x xy y --只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项138x y +，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。

2．所以运用双十字乘法对22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++型的多项式分解因式的步骤： （1）用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；（2）在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y 的一次项的系数E ，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x 的一次项的系数D ． 二．对称式与轮换对称式【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。

由定义2知，n 元多项式12()n f x x x g g g ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，那么就称这个代数式为n 元交代式。

例如，()()()x y x y x y y z z x x y-----+，，均是交代式。

【定义4】如果一个n 交代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果将字母12n x x x g g g ，，，以2x 代1x ，3x 代2n x x g g g ，，代11n x x -，代n x 后代数式不变，即12231()()n n f x x x f x x x x ≡g g g g g g ，，，，，，，那么称这个代数式为n 元轮换对称式，简称轮换式。

显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。

例如，222()a x y z ++是对称式也是轮换式；222()b x y y z z x ++是轮换式，但不是对称式。

对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；（2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式； （3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式； （4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式；（5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。

【定义5】下面n 个对称多项式称为n 元基本对称多项式。

例如，二元基本对称多项式是指x y xy +，， 三元基本对称式是指x y z xy yz zx xyz ++++，，当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个n 元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。

这个结论对解题的指导作用。

2．对称式、轮换式、交代式在解题中的应用为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形，只需作类似的处理即可。

下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧（1）若()f x y z ，，是对称式，则在解题中可设x y z ≤≤。

（为什么？）（2）若()f x y z ，，是对称式，则当x y ，满足性质p 时，x z y z ，；，也满足性质p 。

（3）若()f x y z ，，是轮换式，则在解题中可设x 最大（小），但不能设x y z ≤≤。

（为什么？）（4）若()f x y z ，，是轮换式，且x y ，满足性质p ，则y z z x ，；，也满足性质p 。

（5）若()f x y z ，，是交代多项式，则x y y z z x ---，，是()f x y z ，，的因式，即其中()g x y z ，，是对称式。

()()()()()f x y z x y y z z x g x y z =---，，，，其中()g x y z ，，是对称式。

在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用的。

齐次对称多项式的一般形式：（1）二元齐次对称多项式 一次：()a x y +， 二次：22()a x y bxy ++ 三次：33()()a x y bxy x y +++（2）三元齐次对称多项式 一次：()a x y z ++二次：222()()a x y z b xy yz zx +++++三次：333222()()()()a x y z b x y z y z x z x y cxyz ⎡⎤+++++++++⎣⎦判定mx ny rz ++是否为多项式(,,)f x y z 的因式的方法是：令0mx ny rz ++=，计算()f x y z ，，，如果()=0f x y z ，，，那么mx ny rz ++就是()f x y z ，，的因式，在实际操作时，可首先考虑mx ny rz ++的如下特殊情形：x x y x y x y z x y z +-++-+，，，， 三．拆、添项法将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式．例如：4422222224444(2)4(22)(22)x x x x x x x x x x +=++-=+-=+++- 四．换元法将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原．例如：4223x x --，设2x y =，则原式223(3)(1)y y y y =--=-+，最后再换回来就是22223(3)(1)y y x x =--=-+ 五．主元法当题目中的字母较多、问题较复杂时，我们可以把某一字母作为主元，而将其他字母作为常数去解决问题．例如： 六：因式定理与待定系数（1）若x a =时，()0f x =, ［即()0f a =］，则多项式()f x 有一次因式 x a -； （2）若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等．一．考点：1．双十字相乘法；2．对称式与轮换对称式；3．拆、添项法；4．换元法；5．主元法；6．因式定理与待定系数．二．重难点：对称式与轮换对称式；拆、添项法． 三．易错点：因式分解过程中计算错误． 题模一：双十字相乘法例1.1.1 （1）226731385x xy y x y --++- （2）2220918183314x xy y x y +--+- 【答案】 （1）()()23531x y x y -++-（2）()()432567x y x y -++-【解析】 （1）先用十字相乘法分解22673x xy y --，再将常数项5-的两个因数写在第二个十字的右边，由于第2列与第3列交叉相乘之积的和等于8，再看第1列与第3列交叉相乘之积的和等于13x ，那么原式就可以分解成(235)(31)x y x y -++-（2）()()2220918183314432567x xy y x y x y x y +--+-=-++-例1.1.2 （1）2152082x xy x y --+- （2）22916184016x y x y -++- 【答案】 （1）(341)(52)x y x -+-（2）(348)(342)x y x y -++- 【解析】 （1）2152082x xy x y --+-=(341)(52)x y x -+- （2）22916184016x y x y -++-=(348)(342)x y x y -++- 题模二：轮换对称式法例1.2.1 分解因式222222()()()()f x y z xy x y yz y z zx z x =-+-+-，， 【答案】 见解析【解析】 ()()()x y y z z x ---是它的因式。

又因为()f x y z ，，是4次齐次式，所以它还有一个一次对称式因式x y z++于是，()f x y z ，，可表示为()()()()()f x y z k x y y z z x x y z =---++，，．令012x y z ===，，，得1k =-，()()()()()f x y z x y y z z x x y z ∴=----++，，．例1.2.2 分解因式333()3f x y z x y z xyz =++-，， 【答案】 见解析【解析】 ()f x y z ，，是3次齐次对称多项式．令0x y z ++=，得()()()()()()33333333()330f x y z x y x y xy x y x xy x y y x y x y x y ⎡⎤=+-+++=+++-+=+--=⎣⎦，，x y z ∴++是()f x y z ，，的一个因式．故它的另一个因式比为二次齐次对称式．所以()f x y z ，，可表示为()()()222()f x y z x y z A x y z B xy yz zx ⎡⎤=+++++++⎣⎦，，令0x y ==，1z =，得1A =．再令0x =，1y z ==，得1B =-．所以()()222()f x y z x y z x y z xy yz xz =++++---，，．题模三：拆、添项法例1.3.1 4414x y +【答案】 222211()()22x y xy x y xy +++-【解析】 ()224442242222111442x y x x y y x y x y xy ⎛⎫+=++-=+- ⎪⎝⎭22221122x y xy x y xy ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭题模四：换元法例1.4.1 因式分解：()()222618680x x x x ++++【答案】 ()()()224610x x x x ++++．【解析】 令26x x a +=，则原式21880a a =++()()810a a =++()()2268610x x x x =++++()()()224610x x x x =++++题模五：主元法例1.5.1 2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-++ 【答案】 222(1)a b ab +--【解析】 222222(2)(2)(1)=()2(1)()(1)=(1)a b ab a b ab a b ab a b ab a b ab +-+-+-+-+++++-- 题模六：因式定理与待定系数法例1.6.1 因式分解：32596x x x +－－ 【答案】 ()()2233x x x --+【解析】 以1,2,3,6x =±±±± （常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。