浅谈数形结合思想的应用——蒋海朋摘要：数学是在客观上研究数量关系和空间形式的一门科学，用通俗易懂的话来概括就是数学是研究“数”和“形”的一门科学。

数相对于形来说更为抽象，形相对于数来说较为直观，在研究学习中，数与形是相辅相成、息息相关的。

对于这个问题，本人在结合自己学习的总结以及前人所提供的经验，并且查阅相关资料，对于这个话题做一个简单的分析。

文中的例子都是本人在学习中总结的历年高考、中考的试题以及模拟题，有很强的代表性。

关键词：数形结合数学思想应用1 引言1.1问题提出的背景纵观数学发展的历史进程，数学家们早已把“数”和“形”联系在一起。

早在公元300年之前，欧几里得的著作《几何原本》，他从几何的角度出发去研究和处理等价的代数问题；笛卡尔利用坐标为根基，通过代数为途径来研究几何问题，进而创立了解析几何学；化圆为方、三等分角、立方倍积这些几何难题都通过代数的方法得以完美解决。

数学往往被分为两大类：代数、几何。

虽然他们被分为两类，但他们绝不是相互独立的，反而是密切相关的。

很多代数上的问题计算量很大，看似非常复杂，甚至无从下手，但是利用了图形之后就会发现问题迎刃而解，直观的图形很容易反映图形的性质；很多几何问题因为辅助线相对复杂想不到，导致无法进一步研究，但是往往我们利用坐标系能够把几何问题转化成代数问题，同样也做到了化繁为简。

这就是数学上常用的数形结合思想。

1.2问题研究的意义伟大的数学家华罗庚就曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。

”这两句诗充分直观得反映了“数”与“形”这两者密不可分的联系。

应用数形结合思想来思考问题就是要求我们结合代数的准确论证和图形的直观描述来发现问题的解决途径的一种思想方法。

由此可见，数形结合思想对于数学解题方面的应用来说是十分重要的，但老师往往仅仅把它当做一种思想一谈而过，照着课本讲课，没有引导学生进一步思考，导致很多学生都不能具体有序地应用这种思想。

2 数形结合思想的重要地位2.1使用数形结合思想的意义数形结合思想无疑是连接“数”和“形”的桥梁，几何的直观形象和数量关系的严谨他们各有优点，在应用过程中有目的有计划地将“数”与“形”结合在一起，根据题目的已知条件，整合“数”和“形”的相关信息，巧妙结合，从而建起它们中间的桥梁，兼取两者之优，能让我们的解题更为轻松。

2.2数形结合思想能够增加学生解决问题的策略的选择在学生解决问题的过程中，画图是一种惯用的策略，早在小学课本中的解决问题的策略中有过介绍画图是我们分析题目的手段，是为了让学生更清晰直观了解题意，从而进一步让学生掌握抽象思维和推理。

在学习百分数和分数时，我们经常指导学生用线段图来分析题目。

三个学生分一大包饼干，A分得总数的一半少1块，B分得剩下的一半多1块，C分得5块，求这包饼干一共有多少块？题干中的总数的一半少1块、得剩下的一半多1块同学们肯定很难理解，但是让学生们画出线段图，问题就显得更加清晰了，学生也更加容易理解。

从图中很容易看出C分得的应该是剩下的一半少1块，所以剩下的一半是6块，所以剩下12块，而这12块就是总数一半多1块，故总数的一半是11块，显然一共有22块饼干。

通过这道例题能够看出，我们通过线段图的协助，清晰得整理了题目所给的条件，找到了解决问题的方法，逐步击破，解除答案。

准确有效应用数形结合思想来作为解决问题的策略无疑是快速又简便的妙计。

2.3数形结合思想有助于学生形象思维水平的发展思维是人脑借助已有的知识和经验，对客观事物的概括和间接的反应过程。

所以思维的发展影响一个人的行为。

数形结合思想更多的是一种形象思维，通过对实物或者表层含义自己构建出数学结构，这是“形”到“数”；通过文字描述或者信息变成直观的图形或者图像，这是“数”到“形”。

在高中我们学习立体几何时，在学习到点、线、面的位置关系以及一些定理的证明时，如果让学生死记硬背这些定理肯定是不可取的方法，课堂中我们往往会用钢珠、笔、桌面来代替点、线、面，这样我们就能够让学生自己动手操作，从而直观的感受到他们之间的位置关系，很好地协助学生理解并记住了定理。

实际操作中的数形结合能够很好地锻炼学生的形象思维水平的培养，大大增强了学生对于图形以及位置关系的空间想象水平，这就是“以数想形”，是我们常用的形象思维之一。

3 以形助数的数形结合思想在数学教学中的应用3.1应用数形结合思想解决集合问题例1：六年级（1）班有52名学生，现在学校组织三种不同的体育活动小组，根据学校规定：所有人都要参加，每人至少参加一个体育活动小组，也能够全都参加。

据班主任统计参加篮球、乒乓球、足球小组的人数分别为25，26，17。

同时参加篮球、乒乓球、足球小组的6人，同时参加篮球、乒乓球、足球小组的7人，同时参加篮球、乒乓球、足球小组的8人，问同时参加篮球、乒乓球、足球小组的有多少人？分析：我们可用圆A ，B ，C 分别表示参加篮球、乒乓球、足球小组的人数（如图），则三圆的公共部分正好表示同时参加篮球、乒乓球、足球小组的人数。

解：用n 表示集合的元素，则有52)()()()()()()(=⋂⋂+⋂-⋂-⋂-++C B A C A n C B n B A n C n B n A n 即52)(876172625=⋂⋂+---++C B A n所以： 5)(=⋂⋂C B A n即同时参加篮球、乒乓球、足球小组的有5人。

图3-1 集合韦恩图3.2应用数形结合思想解决函数问题例2 设函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+0,0x ,)21(21x 1x x 若0)(0>x f ,则0x 的取值范围是(D)。

A.(-1,1)B.(-1, +∞)C .(-∞, -2) ⋃ (0, +∞)D.(-∞, -1) ⋃ (1, +∞)图3-2 分段函数图像分析：我们通过度别画出该函数的两段图像，再画出1=y 这条线段，非常直观得找到了两个交点，并且判断出了函数值域大于1的大致范围，对于选择题来说这些重要信息往往能够排除几个错误答案，让我们更加准确的选出答案。

数形结合通常也能够作为检查答案的手段，把计算好的答案再回到图中看是否符合也是检验的好方法。

3.3应用数形结合思想解决方程问题例3：方程x x sin log 10=的实数根的个的个数是（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个分析：如果我们想用代数的方法把这个方程的根求出来，凭借我们的现有知识是做不到的，所以我们会考虑到用数形结合的思想来考虑这道题，x x sin log 10=这个方程的解是函数x y 10log =与x y sin =图象的交点的横坐标。

我们只要在同一个坐标系里分别画出x y 10log =与x y sin =的函数图象，如下图，显而易见，这两个图象有三个不同的交点，所以实数根的个数是3个，所以我们要找的准确的选项为（C ）。

函数和方程在数学中是密切相关的两个概念，这两个函数图象的交点的横坐标就是我们所要寻找的方程的解，所以对一些解起来很麻烦的方程，或者说我们根本无法解出来的方程，用数形结合的方法来思考是很有必要的，特别是判断一个方程解或者两个函数的交点的个数的时候，并非要求你求方程的具体解。

图3-3 函数图像3.4应用数形结合思想来理解公式例4：理解n 边形内角和公式︒⨯-1802）（n图3-4分割多边形计算内角和图（a ）把n 边形分成2-n 个三角形，每个三角形的内角和是180°。

图（b ）把n 边形分成n 个三角形，然后再去除一个周角也就是360°，故公式是360180-⨯n 。

图（c ）把n 边形分成1-n 个三角形，结合图像很容易发现把所有三角形的内角加起来再减去一个平角就能够得出公式是180)1(180--⨯n 。

3.5应用数形结合思想解决线性规划问题例5：已知：0,0≥≥y x 且12=+y x , 求22y x +的最小值与最大值。

分析：看到一个二元一次方程，并提供了x 、y 的范围，我们首先应该想到这是一道线性规划的题目，我们根据题目画出图像，答案显而易见。

解：如图3, 12=+y x (0,0≥≥y x )的图象画出来就是线段AB,而线段上的点),(y x 到原点的距离为22y x +,显而易见线段AB 上点到原点距离最小为55=OQ ,距离最大时1=OA图3-5线性规划函数图像4 应用数形结合思想需要注意的问题以上我们介绍了诸多使用数形结合思想的优点，它不但形象直观，而且简便易懂，能够避免代数上的繁琐的运算过程。

但是图像毕竟仅仅一部分内容而不是全部，不能以偏概全忽略其他条件，所以在使用数形结合思想的时候同样也存有很多需要注意的问题。

4.1作图水平的培养熟练应用数形结合思想的前提条件是对“数”和“形”的掌握，由“数”到“形”的转变要求同学们能够熟练得画出函数图像或者图形，不但要会画，而且还要知道如何变化，比如图像的平移、旋转、缩放等等，还有一个比较特殊的绝对值，这些都是作图的难点。

熟练掌握绘图是数形结合的第一步。

4.2作图要精确学生作图的习惯通常比较差，不喜欢用尺是最常见的，学生都认为画的差不多就能够了，这种思想是万万不能有的。

在数形结合中作图不精确就会导致致命错误，可能仅仅差一点，也会导致漏解、错解。

4.3避免遗漏条件我们使用数形结合思想解题时，“数”到“形”或者“形”到“数”是题目条件的转化，转化的关键在于等价，不能改变原有的条件。

在函数题目中最容易遗漏的条件就是定义域，漏掉定义域之后范围就会扩大，导致做错整道题。

所以只有保证不遗漏条件才能保证转化的等价性。

5 总结数形结合思想作为数学中最为重要的思想之一，本论文简单阐述了一些数形结合思想在教学中的应用以及数形结合思想在应用中要注意的问题。

让学生掌握数形结合思想肯定是极好的，但这种思维的形成不是在短时间内能够实现的。

现代教学提倡以学生为主体，教师起主导作用，教师应该要把数形结合思想的培养作为重点之一，在平时的课堂教学、作业等等方面持续引导学生潜移默化地形成这样的思维，让学生牢牢把握学习的主动权，发现数学的奥妙之处。

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