3.3.2 简单的线性规划问 题
y
o
x
例题
例1 、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少 提供0.075kg 的碳水化合物， 0.06kg 的蛋白质， 0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物， 0.07kg 蛋白质， 0.14kg 脂肪，花费 28 元；而1kg 食物 B含有0.105kg 碳水化合物， 0.14kg 蛋白质， 0.07kg
? 0.105 x＋ 0.10 y ? 0.075
? ?? ?
0.07 0.14
x＋ 0.14 x ? 0.07
y y
? ?
0.06 0.06
?
? ?
x
?
0
?? y ? 0
目标函数为： z＝28x＋21y
?7x? 7y ? 5
????174xx??147
y y
? ?
6 6
? ?
x
?
0
?? y ? 0
B
C
?y ? x
? ?
x＋
y
?
1
?? y ? － 1
z＝2x＋y
作出直线 y=－2x＋z的图像，可知 z要求最大值，即直线经过 C点时。
求得C点坐标为（ 2，－1），则 Zmax=2x＋y＝3
2. 解：作出平面区域
y
A
B
oC
x
?5 x＋ 3 y ? 1 5
? ?
y
?
x＋ 1
?? x － 5 y ? 3
域上的点 M时，纵截距 最小，即
/ 57 6/7 x
4、求 M点是两条直线的交点，解方程组
?7 x ? 7 y ? 5
? ?
14
x?
7y
?
6
? ??
x
?
1 7
得M点的坐标为： ?
? ??
y
?
4 7
所以 zmin＝28x ＋21y ＝16
5、答
由此可知，每天食用食物 A143g，食物B约 571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低， 最低成本为 16元。
M x
o
小结：
线性规划求最优整数解的一般方法:
1.平移找解法： 即先打网格，描出可行域内的
整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点 坐标即为最优整解．
2.调整优解法：即先求非整数条件下的最优解，
调整Z的值使不定方程 Ax+By=Z 存在最大（小） 的整点值，最后筛选出整点最优解．
巩固练习二
某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为 3000 元、2000 元，甲、乙产品都需要在A 、B两种设备上加 工，在每台A 、B上加工1 件甲所需工时分别为1h 、2h ，A 、B 两种设备每月有效使用台数分别为400h 和500h 。如何安排生 产可使收入最大？
设每月生产甲产品 x件，生产乙产品 y件，每月收 入为z，目标函数为 Z＝3x＋2y，满足的条件是
? x＋2 y ? 400
??2x＋y ? 500
? ?
x
?
0
?? y ? 0
Z ＝ 3x ＋2y 变形为y ? ? 3 x ? z
它表示斜率为 3 ? 2
的直线系， Z 与这条直线的2截距有2
关。
当直线经过点 M时，截距最大， Z最大。
1、找
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数 z ＝28x ＋21y 变形为 y ? ? 4 x ? z
2、画
它表示斜率为 ?
4 3
纵截
3 28
距随z变化的一组平行 6/7 y 直线
z 28 是直线在y轴上
的截距，当截距最
5/7 M
小时，z的值最小。 3/7
3、移
如图可见，当直线 z＝ 28x＋21y 经过可行
解方程组
? x ? 2 y ? 400 ??2x ? y ? 500
500
可得M（200，100）
? x＋ 2 y ? 4 0 Y ?? 2 x ＋ y ? 5 0
? ?
x
?
0
?? y ? 0
Z 的最大值Z ＝
3x＋2y＝800
故生产甲产品 200件， 乙产品 100件，收入 最大，为 80万元。
200 O
解：设 x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件： y
? 4x ＋ y ? 10
?? 18x ＋ 15y ? 90
? ?
x
?1
x? N
?? y ? 1 y ? N
x
o
解：设生产甲种肥料 x车皮、乙种肥料 y车皮，能够产 生利润Z万元。目标函数为 Z＝10x＋8y，可行域如图：
把Z＝10x＋8y变形为y＝－5x/4＋z/8，它表示斜率为 z/8，当z/8取得最大值， z取得最大值
令z=0，画出直线 10x+8y=0 ，即5x+4y=0 .
由图可以看出，当直线经过可行域上的点 M时，
截距 z/8最大，即 z最大。
y
容易求得 M点的坐标为 （1，4），则Zmax＝42
故生产甲种肥料 1车皮、 乙种肥料 4车皮，能够产生最 大利润，最大利润为 42万元。
z＝3x＋5y
作出直线3x＋5y ＝z 的 求得A（1.5，2.5），
图像，可知直线经过 A点时，B（－2，－1），则
Z取最大值；直线经过 B点 Zmax=17 ，
解线性规划问题的步骤：
1、找 找出线性约束条件、目标函数；
（1）2、画： 画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）3、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中，
利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； （3）4、求：通过解方程组求出最优解；
（4）5、答：作出答案。
6
例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4t、硝酸盐18t,获利 10万元；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t、硝酸盐15t，获利8万元。现库存磷酸盐 10t、硝酸 盐90t，在此基础上生产这两种混合肥料至少各一车皮。 问甲、乙两种肥料各生产多少车皮，能够获得最大的 利润？
M 250 400 X
二、练习
1、求z ＝2x ＋y的最大值，使 x 、y满足约束条件：
?y ? x
? ?
x＋
y
?
1
?? y ? － 1
2、求z＝3x＋5y的最小值，使 x、y满足约束条件：
?5 x＋ 3 y ? 1 5
? ?
y
?
x＋ 1
?? x － 5 y ? 3
1. 解：作出平面区域
y
A
o
x
脂肪，花费 21 元。为了满足营养专家指出的日常饮食 要求，同时使花费最低，需要同时食用食物 A 和食物B 多少kg ？
分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg
蛋白质/kg
A
0.105
0.07
B
0.105
0.14
脂肪／kg
0.14 0.07
解：设每天食用 xkg食物A，ykg食物B，总成本为 z， 那么