篮球比赛结果预测模型摘要篮球是世界上公认的三大球类运动之一，在世界各地都有着广泛而深远的影响。

在我国篮球也是一项十分普及的运动，深受广大人民群众尤其是青少年的喜爱。

本文主要针对某大学举办的一次校内篮球联赛，讨论了篮球比赛中每支参赛代表队的各项技术指标与其比赛成绩的关联关系，并根据各项指标对球队成绩的“整体”贡献度将其进行了排序，然后又探讨了各支参赛队伍的排名问题和影响其排名的关键场次问题。

为此，我们先后建立了灰色系统关联模型、竞赛图理论排序模型和灰色理论预测模型。

在灰色系统关联模型中，我们定义相关度这一指标来衡量各项技术指标与比赛成绩的关联关系，构建出衡量球队比赛成绩的指标体系，并且对每支球队的技战术水平进行了简要的分析，给出简单的改进意见。

然后应用权变理论改进该模型，使其能够根据对球队成绩贡献的大小将各项技术指标排序，最后得到的排序结果与实际情况十分吻合。

在对各支代表队的排序和关键场次的确定中，我们首先用竞赛图排序模型找出了各支球队的关键比赛场次，实质上这是一种穷举的方法，但通过优化我们达到了较小的算法复杂度实现穷举的效果，既保证了科学性和准确性，又体现出效率性。

然后我们通过分析，认为不同的比赛赛制将对应不同的球队排序，为此我们采用男篮世锦赛的排名方法，并且在竞赛排序模型的基础上引入灰色预测模型，预测出信电学院将最有可能夺冠，并对其他各支代表队的排名进行了预测。

具体的结果参见结果分析。

最后我们还对上述各模型进行了优化，同时探讨了其他的技术指标与球队成绩相关性评价模型。

关键字：灰色系统理论、灰色预测、竞赛图排序、关联度（系数）、权变理论一、问题重述与分析1.1问题重述（略）1.2问题分析（略）二、问题假设1、参赛各队存在客观的真正实力；2、在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比服从以它们真正实力对比为中心的相互独立的正态分布；3、题目给出的19项指标足以反映该球队的真实实力；4、小组赛的竞赛成绩是球队实力的真实反映，小组赛中各项技术统计能够代表球队的技战术水平；5、不存在球场不公平竞争现象，如裁判问题和假球问题等。

三、符号说明全局符号说明如下：(0,1,2,...)j A j =：技术指标（因素数列）；A ：基准指标（基准因素数列）；i A ：比较指标（比较因素数列） k ：场次号（时刻值）； 0()A k ：0A 因素在k 时刻观察得到的值； ()i k ξ：比较数列i A 对基准数列0A在k 的关联系数；ρ：分辨系数； e ：残差；0min min |()()|i ikA k A k -：两极最小差；0max max |()()|i ikA k A k -：两极最大差。

四、模型建立与求解4.1数据的整合由于题目中的数据是在WORD 文档中，处理起来较为困难，根据后面模型建立与求解过程中的要求，我们首先对数据进行整合，将其导入EXCEL ，同时统计出每支球队在小组赛六场比赛中的技术统计情况，具体表格见附录1，表中我们按照场次的先后顺序排序，标注出每支球队每场比赛的胜负关系和总的胜负关系，计算出每支球队在全部六场小组赛中的技术统计的总体情况。

4.2灰色系统模型的建立： 模型I 灰色系统相关模型根据问题分析和灰色理论相关原理，我们首先为各项技术指标建立一个灰色系统相关模型。

假设(0,1,2,...)j A j =为系统的多个因素，我们在这里即是多个技术指标。

现在选取其中一个因素A 作为比较基准，A 可以表示为数列（称为基准数列）：{}00000()|1,2,...((1),(2),...,())A A k k n A A A n ===其中k 表示时间序号，这里即是场次号，0()A k 则表示0A 因素在k 时刻观察得到的值。

假设另外有m 个需要与基准因素比较的因素的数列（称为比较数列）：{}()|1,2,...((1),(2),...,())1,2,...,i i i i i A A k k n A A A n i m ====那么，比较数列i A 对基准数列0A 在k 的关联系数定义为：0000|()()|min min |()()|()|()()|max max |()()|i i iki i i ikA k A k A k A k k A k A k A k A k ρξρ-+-=-+-其中[0,)ρ∈+∞称为分辨系数，0min min |()()|i ikA k A k -和0max max |()()|i ikA k A k -分别称为两极最小差和两极最大差。

一般来说，分辨系数[0,1]ρ∈。

而且ρ越大，则关联系数越大，分辨率也越高。

反之，ρ越小，则关联系数越小，分辨率也就越小。

关联系数这一指标描述了比较数列与基准数列在某一时刻的关联程度，但是每一个时刻都有一个关联系数就显得过于分散，难以全面比较。

因此，定义比较数列i A 对基准数列0A 的关联度为11()ni i k r k n ξ==∑，作为衡量系统因素间的关联程度大小的唯一指标。

这里我们还要注意两个问题，一个是在计算关联系数和关联度时，要求不同的技术指标数列具有相同的量纲单位，但显然本题中的量纲不统一，因此就需要我们对其进一步处理。

我们采用的办法是以每支球队的第一场比赛的各项技术统计为标准，将其后每场比赛的各项技术统计与第一场的各项技术统计做商，得到一个新的相对技术统计矩阵，即为所要矩阵，我们称其为技术指标数据的初始化，以实现无量纲化：如原始序列：((1),(2),...,())A A A A n =则可以构造其初始化序列：(2)()(1,,...,)(1)(1)A A n A A A =第二个问题是关联系数的定义公式0000|()()|min min |()()|()|()()|max max |()()|i i i ki i i ikA k A k A k A k k A k A k A k A k ρξρ-+-=-+-其算出的数值均是正数，不能区分是正关联（两个技术指标成正比）还是负关联（两个技术指标成反比）。

在计算的过程中，我们发现不区分正、负关联，可能的出比较怪异的结果，比如失误这一技术指标反而成为球队取胜的重要技术指标——失误越多，胜率越大！！我们采用下面的办法来判断是正关联还是负关联：取111()()n nni i i k k k kkA k A k n σ====-∑∑∑2112()/n nn k k k k nσ===-∑∑然后定义：1、若()()j in nsign sign σσσσ=，则称因素i A 和j A 是正相关的； 2、若()()j in nsign sign σσσσ=-，则称因素i A 和j A 是负相关的；这样就可以区分各项技术指标与基准指标之间的关联度，避免出现上述的怪异结果。

模型II 灰色系统预测GM 模型 根据灰色理论的相关原理，我们知道，一般可以用离散的随机数经过数的生成这一过程，变成随机性明显削弱的较有规律的生成数列，这样我们就可以利用这个数列对变化过程作较长时间的描述，甚至可以确定微分方程的系数，同时用其来对将来的情况进行一定精度的预测。

设有N 个原始数据数列：(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())1,2,...,i i i i A A A A n i N == 对它们分别做一次累加生成，得到N 个生成数列：()(0)(0)(0)11(1)(1)(0)(1)(0)((1),(),...,())(1),(1)(2),...,(1)()1,2,...,iiii m m i i i i i AA A m A m A A A A n A n N===+-+=∑∑２n１　=() i 如果将生成数列(1)i A 的时刻1,2,...,k n =看成连续的变量t ，又将生成数列(1)i A 看成关于时间t 的函数，即(1)(1)()i i A A t =，那么只要生成数列(1)(1)(1)23N A A A 、、．．．、对(1)1A 的变化率由影响，就可以建立下面的常微分方程：(1)(1)(1)(1)(1)1112231...N N dA aA b A b A b A dt-+=+++ 这个N 个变量的一阶常微分方程模型记为(1,)GM N 。

记121(,,,...,)TN a b b b α-=（上述微分方程的参数列），又记：(0)(0)(0)111((2),(3),...,())T N Y A A A n =按照差分法把所得的常微分方程离散化，得到一个线形方程组，它的一般形式为：N Y B α=如果取残差N e Y B α=-，则为了得到α估计值，可以解决下面的极值问题，即求使得残差的平方和达到最小时的α值。

当1n N -≥的时候，根据最小二乘法，可以算得：1()T TN B B B Y α-= 最终可以得到矩阵B 为：(1)(1)(1)(1)112(1)(1)(1)(1)112(1)(1)(1)(1)1121(1)(2)(2)...(2)21(2)(3)(3)...(3)21(1)()()...()2N N N A A A A A A A A B A n A n A n A n ⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦ ．．． ．．．　... ．．． 这样常微分方程便确定下来了。

我们可以运用该模型对事物的发展趋势进行描述，预测其发展变化情况。

4.3球队技术指标灰色关联模型的建立与求解（解决第一问）：根据4.2中建立的灰色系统模型，我们来建立模型来探讨每支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系。

这里我们认为在小组赛中，球队比赛成绩的衡量是以胜负场次数目作为标准的，胜的场次越多说明该球队成绩越好，反之则说明球队成绩较差。

选取的基准技术指标是球队的胜负，胜记为1，负记为0。

同时根据问题的分析2所述，选取13项技术指标来与球队的成进进行关联分析（注：我们在计算的时候，由于复杂度不高的原因，仍是按照19个指标来进行计算）。

我们以数学学院为例，来描述技术指标灰色关联模型的建立和求解。

对于其他学院我们则给出计算的结果和关联分析。

111111111111111111110.730.850.86 1.40.6 2.33 1.75 1.58 1.110.470.650.59 1.1 1.25 1.7 1.66 1.0510.810.980.830.40.440.91 1.44 1.37 1.050.670.880.80.60.75 1.5 1.830.8610.850.950.890.20.560.36 1.81 1.54 1.180.40.810.660.8 1.311 1.620.9210.620.80.76 2.8 1.04 2.690.880.8810.270.960.7110.94 1.8 1.42 1.06ρ=，程序xiangguandu.m 用Matlab编程实现上述算法，这里我们取经验值0.5另附，见附录2。