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允许应用叠加原理的一般条件是：必须是该参数与荷载成线 性关系。因为只有存在线性关系时，各荷载所产生的该参数 值才能互相不影响。对于静定梁求反力和内力，只要满足小 变形条件，其反力和内力一定与荷载成线性关系，就可以应 用叠加原理。 二、叠加法画弯矩图
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研究构件的变形和破坏问题，离不开讨论附加内力与外力 的关系以及附加内力的限度。因为我们的讨论只涉及附加内力。 故以后即把附加内力简称为内力。 二、内力的求法－－截面法 为显示和计算内力，通常运用截面法，其一般步骤如下： 1）截开－－ 在需求内力的截面处，将构件假想截成两部分。 2）代替 －－留下一部分，弃去另一部分，并用内力代替弃 去部分对留下部分的作用。 3）平衡－－ 根据留下部分的平衡条件求出该截面的内力。
max
FP
22
将静定梁在常见单种荷载作用下的FQ图和M图汇总于下 图。熟记这些内力图对以后学习有用。
23
24
应用FQ（x）、M（x）与q(x)之间的微分关系及其几何意义，可 以总结出下列一些规律，利用这些规律可以校核或绘制梁的剪力 图和弯矩图。
dM ( x) dFQ ( x) FQ ( x) q( x) dx dx
一构件（不能再拆的结构元件）作为研究对象，因此，其它 构件对此构件的作用力，就称为它所受到的外力。而内力则 指的是此构件内部之间或各质点之间的相互作用力。 当构件受到外力作用时，其形状和尺寸都将发生变化。 构件内力也将随之改变，这一因外力作用而引起构件内力 的改变量，称为附加内力。其作用趋势是力图使构件保持 其原有形状与尺寸。
5qa FQ1 FRA 4
计算结果为正说明假设的正负正确，计算结果为负 说明假设的正负正好相反。
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通过上例得出求梁内力的规律： 1)梁中任一截面的剪力在数值上等于该截面一侧所有垂直于梁 轴线的外力的代数和。符号确定方法是：外力使梁产生左上右下 错动趋势时，外力为正，反之外力为负。即截面以左向上的外力 或截面以右向下的外力产生正剪力（简称左上右下生正剪），反 之为负。 2)梁中任一截面的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力对该 截面形心的力矩的代数和。符号确定方法是：力矩使梁下凸时为 正，使梁上凸时为负。即向上的外力或截面以左顺时针转向的外 力偶或截面以右逆时针转向的外力偶产生正的弯矩（简称左顺右 逆生正弯矩），反之为负。 根据上述规律，求梁的剪力和弯矩时可以不必画出各段梁的示力 图，也不需要列出各段梁的平衡方程，可直接算出截面的弯矩和 17 剪力。
表6-1 梁的荷载、剪力图、弯矩图之间的关系
梁上外力情况 q=0 无外力梁段 q=常数 dFQ（x） = q＜0（向下） dx dFQ（x） = q＞0(向上） dx
剪 力 图（Q图）
dFQ（x） dx
弯 矩 图（M图）
dM（x） = FQ(x), 斜直线 dx
= q(x)=0
FQ>0
；FQ<0
d2M（x） = q(x)=常,抛物线 dx2 q>0 q<0 FQ(x)=0处，M取极值
A
0
7 qa 4
15
2）求各截面的内力 各截面的内力均假设为正的，如图所示
5qa2 M 2 M 1 FRA a 4 qa FQ 3 FQ 2 FRA qa 4 3qa2 M 3 FRA 2a qa a 2 3qa 5qa2 FQ 4 qa FRB M4 4 4
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M（x）是x 的一次函数，所以弯矩沿梁轴按直线规律变化。 由于是直线，故只需确定梁内任意两截面的弯矩，便可画出弯 矩图。
x0
MA 0
xL
M B FP L
3)绘制剪力图和弯矩图 由图可见，在梁右端的固定端面上，弯矩的绝对值最大，剪力
则在全梁各截面都相等。
M max FP L
FQ
Fmax 20kN
8
§6-3 梁的内力－－剪力和弯矩
一、梁承受荷载的特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。 受力特征：作用在直杆上的外力与杆轴线垂直 变形特征：直杆的轴线将由原来的直线弯成曲线
纵向对称面：梁的横截面的对称轴与梁的轴线所组成的 平面称为纵向对称面。
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绘制剪力图和弯矩图的一般步骤为： 1）根据梁的支承情况和梁上作用的荷载，求出支座反力（对 于悬臂梁，若选自由端一侧为研究对象，可以不必求支座反力。）
2）分段列出剪力方程和弯矩方程。根据荷载和支座反力，在 集中力（包括支座反力）和集中力偶作用处，以及分布荷载的分 布规律发生变化处将梁分段，以梁的左端为坐标原点，分别列出 每一段的内力方程。 3）根据剪力方程和弯矩方程所表示的曲线性质，确定画出这 些曲线所需要的控制点，即所谓的特征点，求出这些特征点的数 值（即求出若干截面的剪力和弯矩）。 4）用与梁轴平行的直线为x轴，取特征点相应的剪力（或弯矩） 值为竖距，根据剪力方程（或弯矩方程）所表示的曲线性质绘出 剪力图（或弯矩图），并在图中标明各特征点的剪力（或弯矩） 20 的数值。确定最大内力的数值及位置。
FP
1
2
12
梁横截面上的内力有两种：平行于横截面的内力Q和位于 梁纵向对称面内的内力偶M。我们将Q称为剪力，将M称 为弯矩。取左段为研究对象由平衡条件：
F
y
0
FRA FQ 0
FQ FRA
FP
2
m 0 FRA x M 象，1－1截面也同时存在内力 Q 和内力 ' ' F F ; M M （作用与反作用关系）。 M 偶 ， Q Q
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§6-2 轴向拉压杆的内力
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力，力的作
用线与杆轴线重合。如6－1图
变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动。 产生轴向拉伸或压缩的杆件称为轴向拉杆或压杆。
如图6-2所示的屋架，上弦杆是压杆，下弦杆是拉杆。
例 悬臂梁受集中力作用，如图a）所示。试画出此梁
的弯矩图和剪力图，并确定 FQ 解：1）列出剪力方程和弯矩方程 将x坐标原点取在梁左端，在距左 端A 为x处取一截面。
max
和
M max
FQ ( x) FP
(0 x L)
(0 x L)
。
M ( x) FP x
2)计算各特征点的剪力和弯矩值 因为 F ( x) F 常数 ，表 Q P 明梁内各截面的剪力都相同。所以 剪力图是一条平行于x轴的直线，且 位于x 轴下方。
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例：求图示杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力
解：1）计算轴力
FN1 10kN
FN2 5kN
FN3 20kN
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2）画轴力图 由轴力图知
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;
;
d 2 M ( x) dFQ ( x) q( x) 2 dx dx
以上三式就是FQ（x）、M（x）、和q(x)三者之间的微分关系，即：
1.剪力方程FQ（x）对x的一阶导数等于荷载集度q(x),这一微分关 系的几何意义是：剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布 荷载的集度。 2.弯矩方程M（x）对x的一阶导数等于剪力方程，这一微分关系 的几何意义是：弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上的剪力。 3.弯矩方程M（x）对x 的二阶导数等于荷载集度q(x)，这一微分关 系的几何意义是：弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的分布荷载 25 集度q(x), 即由分布荷载集度的正负可以确定弯矩图的凹凸方向。
§6–3 梁的内力－－剪力和弯矩
§6-4 剪力图和弯矩图
§6-5 用叠加法作弯矩图 §6-6 静定平面桁架内力
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§6-1 内力
一、内力的概念

截面法
对于所研究的物系受到其它物系给予的作用力称之为外力， 而将此物系内部各物体之间的相互作用力称为内力。 当我们讨论构件的强度和刚度等问题时，一般总是以某
FP
m
Fp力作用处FQ有突变，突变值为 FP力作用处M会有转折 FP
FP
m 作用处FQ无变化
m作用处，M突变， 突变量为m
m
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[例]外伸梁如图所示，已知q=5kN/m，Fp=15kN，试画出该梁 的内力图。 解：1）求支座反力
FRB (15 2 5 2 5) / 4 20kN
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图6－1
图6－2
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运用截面法确定杆件内任一截面上的内力 ，将沿杆轴 线方向的内力合力称为轴力。
轴力拉伸为正，压缩为负 如果直杆承受多于两个的外力时，直杆的不同段上将有不同 的轴力。应分段使用截面法，计算各段的轴力。 为了形象地表示轴力沿杆件轴线的变化情况，可绘出轴力随横 6 截面变化的图线，这一图线称为轴力图。
剪力限制截面错动的变形，大小等于截面一侧所有外力
的和；弯矩限制了截面的转动，大小等于截面一侧所有外力 对截面形心矩的代数和。
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2.剪力、弯矩的符号确定
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例：求图示 梁1-1、2-2、3-3、 4-4截面上的剪力 和弯矩。
解：1）求支座反力 由 得 由 得
m
FRA
B
0
m
FRB
5qa 4
FRD (15 2 5 2 1) / 4 5kN