微积分在普通物理学中的应用1引言从牛顿那个时代到今天，每个时代都在为一种事物惊叹不已，它不仅推动了物理学和数学的发展，也更新了人类的观念,是人类史上的里程碑,它就是微积分．微积分可以称为是人类智慧最伟大的成就之一，在各个领域内都有重要应用．如果将整个人类科学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分．微积分在物理学、天文学等自然科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用．可以说，微积分推动了现代人类社会的发展，所以我们很有必要对它进行了解和掌握．微积分是微分和积分的总称，它是一种数学思想，其中‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分．极限的思想是微积分的基础，它是用变化的思想来看待问题的．微积分在物理学中的应用相当普遍，本篇论文从导数、微分、积分三方面研究了微积分在其中的应用．2导数在力学中的应用导数在力学中有很重要的作用，通常可求得最小的力，最省的距离等极值问题，在实际生活中应用性很强．下面简单举出两个例子说明其应用(画图略)．例1 设有质量为5kg 的物体，置于水平面上，受力F 的作用开始移动，设摩擦系数0.25,μ=问力F 与水平线的交角α为多少时,才可以使力F 的大小为最小？解 由题意得cos (sin )F P F ααμ=-,其中α0,2π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，P 表示重力cos sin PF μαμα=+由于P μ为常数,欲求F 最小,只须 求分母U cos sin αμα=+的最大值. 记 U αcos sin αμα=+令U α'=sin cos 0αμα-+=tan αμ=,(0.25)arctan arctan αμ==.故当0.25arctan α=时,可使力F 最小．例2 有一支杠杆,支点在它的一端,在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体,加力于杠杆另一端使杠杆保持水平，如果杠杆每m 的质量为5kg ,求最省力的杆长.解 设杆长为x ,则杆重5x ,由力矩平衡得 490.152x xF x =⨯+⨯即 4.952F x x =+ (0x >) 两边同时对ｘ求导得24.952F x '=-+ F '0=得唯一的驻点1.4()x m == 由于F 只有最小值，所以由实际意义知,杠杆长为1.4()m 时最省力．通过上面两个例子，读者可以看到，导数的性质及意义在力学中有重要应用，尤其在求一些极值问题上应用性极强，不过导数只是微积分的基础，下面我们再通过具体例子说明微分在物理学中的应用．3 微分在运动学中的应用微分在求一些变化率方面作用很大,最简单像位移微分是速度,速度微分是加速度,下面我再举两个求速度例子,说明微分的应用.例1 落在平静水面上的石头，产生同心波纹．若最外一圈波半径的增大率总是6/m s ，问在２秒末扰动水面面积的增大率是多少？分析 由于在这里面积的增大不与半径平方的增大成正比，所以中学方法根本解不出来，用微积分就简单多了，试看下面解法：解 设波半径为()r m ，时间为()t s ，则波动面积2S x π= ，从而 2dS drr dt dtπ= 当2()t s =时，由6r t =得6212()r m =⨯=，因为6(/)drm s dt=所以 22126144(/)dSm s dtππ=⨯⨯= 即在２秒末扰动水面面积的增大率是2144(/)m s π ．例2 注入水深为8m 且上顶直径为8m 的正圆锥形容器中，其速率为34/min m ．当水深为5m 时，其表面上升的速率是多少？分析 这道题与上题一样，水表面上升速率不与水注入的速度成比例，所以是动态问题，需要用微积分知识来解，请看解法： 解 设水面高为()h t 米此时，水面圆的半径为r 米，上顶半径4R =， 由相似三角形比例性质得：48r h=， 得 12r h =所以 231()312V t r h h ππ== 两边同时对t 求导得'2231124t dh dhV h hdt dtππ==， (1) 即 24dV dh dt dt h π=， 由题设可得：'34(/min)t V m =，5h m =，代入(1)式得16(/min)25dh m dt π= 所以，当水深为5m 时，其表面上升的速率是16(/min)25m π． 除了导数和微分，积分更是物理学研究者需要掌握的，尤其是在求变力的功时只有用积分知识，在这里我通过三个例题具体来展示积分在解变力做功问题时的应用．4 积分在变力做功问题中的应用从物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且力的方向与物体运动方向一致，那么，在物体移动了距离s 时间，力F 对物体所作的功为W F s =⋅如果物体在运动过程中所受的力是变化的，这就是变力对物体作功的问题．而 积分是与求变力做功紧密联系在一起的,下面请大家看几个这方面的例子例1 直径为20 cm ，高为80cm 的圆柱体内充满压强为10N/2cm 的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需做多少功？解 由玻意耳——马略特定律，温度不变时,变化前后压强和体积的乘积不变, 而 210(1080)80000k pv ππ==⋅⋅=当底面积不变而高减少()x cm 时，设压强为2()(/)p x N cm ,则有 2()10(80)80000p x x ππ⋅⋅-=所以 800()80p x x=- 功微元 210()dW p x dx π=⋅ 所以功 4040240800108108080dx W dx dx xx ππ==⨯--⎰⎰=440810ln(80)800ln 2()0x J ππ-⨯-=例 2 一物体按规律3x ct =作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0x =移至x a =时，克服媒质阻力所做的功．解 媒质阻力2F kv =-（0k >,k 为阻力系数，阻力与运动方向相反），而'23t v x ct ==，所以249F kc t =-而13()x t c=，代入得2433()9F x kc x =-⋅，243300()9aaW F x dx kcx dx =-=⎰⎰272733333279077a kc x k c a =⋅=⋅⋅．例3 用铁锤将铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,在击第一次时,将铁钉击入木板1cm .如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等,问锤击第二次时,铁钉又击入多少?解 设第二次又击入hcm （h 为待定系数),由于木板对铁钉的阻力F ky = 其中,k 为阻力系数, y 轴正向与打击方向相同) ,故功微元dW Fdy kydy == 击第一次时,铁锤所做的功121011022k W kydy y k ===⎰ 击第二次时,铁锤所做的功1221(1)12hk W kydy h +⎡⎤==+-⎣⎦⎰21(2)2k h h =+ 由于1W = 2W ，所以21(2)2k h h +=12k ，2210h h +-=解之得11h =-=()cm ．以上三个求变力做功问题为力学中的问题,事实上,在电磁学中也常用积分知识求变力所做的功,下面我们举一例．例4 把一个带电量0q +的点电荷放在r 轴上坐标原点Ｏ处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果另一个点电荷q +放在这个电场中距离原点o 为r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为02kq qF k =（k 是常数） 当这个点电荷q +在电场中从r a =处沿r 轴移动到()r b a b =<处时，计算电场力F 对它所作的功．解 在移动过程中，电场对这点电荷q +的作用力是变的．取r 为积分变量，它的变化区间为[],a b ．设[],r r dr +为[],a b 上的任一小区间．当点电荷q +从r 移动到r dr +时，电场力对它所做的功近似于02kq q dr r ，即功微元为02kq qdW dr r=． 在闭区间[],a b 上作定积分，便得所求的功为0002111[]bb a akq q W dr kq q kq q r r a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰如果将点电荷q +从该点处r a =移到无穷远处，电场力所作的功W 就是广义积分00002211lim lim b aa b b kq q kq q kq q W dr dr kq q r r a b a +∞→+∞→+∞⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰ 例4为积分在电磁学中的应用．除此之外，微分和导数在电磁学中的应用也有很多，这里不再一一细述．以上一些例题表明了微积分在物理学中有很强的应用．因此,要想学好物理,必须学好微积分．综上所述,在普通物理学中，尤其是在力学和电磁学中时时刻刻都在利用微积分处理问题．因此，掌握微积分的使用方法，学会用微积分的思维来解决力学和电磁学中的问题是十分必要的，希望这些工作能起到抛砖引玉的作用，引起同仁的共鸣，好能共同为微积分在各学科中的推广做出贡献．。