我们解决物理问题。
导数
㈠ 物理量的变化率
我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可
以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上
的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=.
t
v
下面我们从代数上考察物理量的变化率：
【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,
式：
⑴ 导数的四则运算
①=±
③=
②=·v + u·
⑵ 常见函数的导数
①=0(C为常数)； ④=-sint；
②=ntn-1 (n为实数)； ⑤=et；
③=cost；
⑶ 复合函数的导数
在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自
变量。
=·
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以
L（弧长）=α(弧度)x r(半径) (弧度制)
又因为车在A、B两点以速率v作圆周运动，所以：
综合以上各式得： F= 圆周运动向心力公式 故摩擦力对车所做的功： 【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力，从最低点运动到最高点摩擦 力所做的功为 小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到
小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直 线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v－t图像， 找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决.
2、解决变力做功问题
v 恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力做功，我们如
何求解呢？ 例2：如图所示，质量为m的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道 运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为，求物体从轨道最低点运 动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。
但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实 就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微 元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速 直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相 加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白，物体在变 速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”， 即。 【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系，从开 始刹车到停车的时间t=5s， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移
①求出t时刻的速度v ②写出合力F与位移x的关系 ③验证简谐运动中质点的机械能守恒。
【练】2、某矩形线框面积为S，匝数为N，处于磁感应强度为B的匀强 磁场中，如图所示，线框绕PQ轴以角速度ω匀速转动，从水平位置开 始计时，在t时刻：①写出磁通量Ф的表达式②求出线框产生的感应电 动势ε P Q θ 三：微分和积分 ㈠ 简单问题 【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放 电，我们先考察电容器放电时的情况。某电容为C的电容器，其已充 电的电量为Q0，若让该电容与另一个阻值为R的的电阻串联起来，该 电容器将会放电，其释放的电能转化电阻的焦耳热（内能）。试讨 论，放电时流过电阻R的电流随时间t 的变化关系如何？ 分析：①根据电荷守恒定律，当通过电阻R的电量为q时，电容器的电量
一场源点荷为Q,在距Q为r的A点有一点电荷为q,此A处电势φ=kQ/r
【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。
分析：
①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八
个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而
根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即
第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t=；
…………
第N次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t=；
…………
一直这样进行下去，我们知道，△t越来越小，虽然它不为零，但永
远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t→0。或者，用数学形式表示
为 △t=0。其中“”表示极限，意思是△t的极限值为0。常规计算：
1、解决变速直线运动位移问题 匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt；但变速直线运动，那
么物体的位移如何求解呢？ 例1、汽车以10m/s的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速 2m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？ 【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式 就可以求 得汽车走了0.025公里。 a=-2m/s2
㈡ 无穷小 当△t取很小时，可以用V=求瞬时速度，也可用i=求瞬时电流,用
ε=求瞬时感应电动势。下面，我们来理解△t： △t是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们
任意给定一个不为零的正数ε，都比△t大，即：ε>△t 。或者从动态 的角度来看，给定一段时间t，我们进行如下操作：
第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t=； 第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t=；
大立方体的中心点电势：U1=8U2=2 Ckρa2
；即U0=U1
【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已
知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量
（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者
将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助
【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在 不同位置与圆环间的正压力不同，故而摩擦力为一変力，本题不能简单 的用来求。
.
x y O
mg mg NA NB B A
可由圆轨道的对称性，在圆轨道水平直径上、下各取两对称位置A和 B，设OA、OB与水平直径的夹角为θ。在的足够短圆弧上，△S可看作 直线，且摩擦力可视为恒力，则在A、B两点附近的△S内，摩擦力所做 的功之和可表示为：
等，甚至不限于对时间求导，如F=、Ex=、ρ=等。
这个dt（也可以是dx、dv、dm等）其实相当于微元法中的时间微元
△t，当然每次这样用来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元
法只是草创时期的微积分。
如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地
求解物理量变化率的瞬时值（导数）了。同学们可以课后推导以下公
变形为i= - CR，即以上解法中的微分方程。
微分与导数有什么关系呢？对某自变量为时间t的函数F(t)，它的
极其微小的变化，我们记它为微分dF，它与时间微分dt满足关系式：
dF=dt，其中为F对t的导数。
下面是常见的微分公式与微分运算法则：
在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q。虽然电流随时间发生变
化，但在很短的时间△t内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处
理，故有△q= i△t 。对电容有Q=CU=CiR，△Q=ＣＲ△i；由电量守
恒，△Q= －△q ，故－i△t＝ＣＲ△i，然后把“△”形式改写成微积
分语言的“d”形式，就有－idt＝ＣＲdi （dt和di称之为微分）,数学
中间变量对自变量的导数——称为链式法则。
在简谐振动中，在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f表
示，频率的2π倍叫角频率，即ω =2πf
【练】1、某弹簧振子在X轴上做直线运动，其位移x与时间t的关系为 x=Asinωt，即，质点在坐标原点附近往复运动，最大位移为A（A称 为振幅），周期为（ω称为角频率），物理上把这种运动叫简谐运 动。请完成以下几问：
所以，流过电阻R的电流随时间t 的变化关系为：i = e-t/CR 【练】对于上例电容器放电问题，试讨论，放电时电容器的电量Q随 时间t 的变化关系如何？
㈡微分 1、从上面式子可以看出，理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电 容才放完电，电流为零，但实际上只需要电流减少足够小时，电流计就 检测不到有电流了。 2、对于i= - CR或i= ，我们称之为微分方程，最直观的解决方法是观 察有哪些函数满足该微分方程的函数关系，当然，我们要注意比如上题 中的t=0 之类的初始条件。 3、一般来说，微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式，但微 元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程。下面我们用微元法的方式 来处理这个问题。
高中物理中微积分思想 伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比 如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成 就，创立了微积分。 微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的 数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重 要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难 研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最 终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细 分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积 分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最 伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。
①（△t+C）=C
②C·△t=0 ③f(△t)=f(0)
பைடு நூலகம்
④ f(t+△t)=f(t)
⑤=1
『附录』常用等价无穷小关系（）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
㈢ 导数
前面我们用了极限“”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z
可以写成:
z=,并简记为z=,称为物理量y函数对时间变量t的导数。物理上经常
用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=、a=、i=、ε=N
的。利用微积分思想，把物体的运动无限细分，在每一份位移微元内， 力的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在恒力作用下的运 动；接下来把所有位移内的功相加，即“无限求和”，则总的功就可以知 道。
在高中物理中还有很多例子，比如我们讲过的瞬时速度，瞬时加速 度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有 它的共性。作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他 的思想无不贯穿整个高中物理。“微积分思想”丰富了我们处理问题的手 段，拓展了我们的思维。我们在学习的时候，要学会这种研究问题的思 想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍。