AD AB
BC BC CA CA
D
E
AB AB
DE BC, EA CA
AB BC CA AB BC CA
∴△ADE≌△ABC ∴△ABC∽△ABC
B
C
例如图,已知D、E、F分别是△ABC三边BC、 CA、AB的中点.求证：△DEF∽△ABC
B
C
例1如图,在△ABC, AB=AC, D是AC边上一 点,BD=BC. 求证: BC2=AC•CD
分析: 要证明BC2=AC•CD，即证
明
AC BC

CBDC ，只要证明AC、BC和BC、
CD为相似三角形的两组对应边即可。
A D
证明: ∵△ABC是等腰三角形
∴∠A=180-2∠C
∵△BCD是等腰三角形
∠B =∠B1 .
B
C
B1
那么 △ABC∽△A1B1C1. C1
已知:如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A, A' B' A'C'
求证: △ABC∽△ABC
AB AC
A
△ADE≌△ABC
A' B' A'C' AB AC
AD AE AB AC
B C
A
DE//BC
小练习
找出图中所有的相似三角形。
“双垂直”三角形 C
有三对相似三角形： △ACD∽ △CBD △CBD∽ △ABC △ACD∽ △ABC
A
D
B
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
课堂小结
1. 相似图形三角形的判定方法：
✓ 通过定义（三边对应成比例，三角相等） ✓相似三角形判定的预备定理 ✓三边对应成比例，两三角形相似 ✓两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ✓两角对应相等，两三角形相似 ✓两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比
此外，与直角三角形全等的判定定理类比，可以引出 直角三角形相似的另一个判定定理：
知识要点
H
√ 判定直角三角形相似的定理 L
如果一个直角三角形的斜边和一条直角 边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。
A
B
C
B1
A1 即：Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 如果 AB BC k,
C1
相似比
A1 A
B
C B1
C1
如果 AB BC CA =k AB BC CA
则△ABC与△A1B1C1的相似比为k，
则△A1B1C1与△ABC的相似比为
1 k
判定两个三角形相似的方法
若从定义出发判断两个三角形是否相似， 需要考虑6个元素，比较麻烦
判定两个三角形相似的简单方法：
D
E
△ABC∽△ADE B
C
已引知理:如图如△果A一B条C中直,线点截D、三E角分形别的在两A边B、(或A两C上边，的且延
长于线三角)AA所DB形得的的AA第CE对三应求边线证.段：成D比E/例/B,C那么这条直线平行A
证明: 作 DE//BC,交AC于E
则 AD AE '
D
E
E
AB AC AD AE
AB AC
采用了“同一法”
的间接证明B
C
AE AE' AC AC
∴AE=AE
因此E与点E重合即DE与DE重合, 所以 DE//BC
当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在 时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的 逆否命题，然后根据唯一性的原理断言命题为 真，这种解题方法叫做同一法
用同一法解题一般有三个步骤 ①先作出一个符合结论的图形，然后推证出所 作的图形符合已知条件； ②根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图 形是全等的或重合的； ③从而说明已知图形符合结论．
平行于三角形一边的直线和其他两边
(或两边的延长线)相交,所构成的三角形
与原三角形相似.
定理所对应的图形如下：
E
D
A
D
E
A
C
B
C
A字型
B
8字型
从预备定理出发，观察下图，你能得出什么新 结论？在图形变化过程中，始终满足DE∥BC
思路：在运 动变化中找 不变性
在图形运动中，由于DE∥BC，因此在D、E 的变化过程中，△ADE的边长在变，而角的 大小始终不变。这说明什么问题呢？ 说明只要两个三角形的三个对应角相等，那么两 个三角形就相似，而只要两个角相等，第三个必 相等，所以就有：判定定理1
A1B1 B1C1
C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
例 如图，已知AD、BE分别是△ABC中BC边 和AC边上的高，H是AD、BE的交点 求证：(1)AD•BC=BE•AC
(2)AH•HD=BH•HE
分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD
小结
知识要点
三角形相似判定定理3
对于任意的两个三角形，如果两个三 角形的三组对应边的比相等，那么这两 个三角形相似。
简述:三边对应成比例,两三角形相似
A
A1
B
C
B1
即：
如果
AB A1B1

BC B1C1

AC A1C1
,
C1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
已知:如图,在△ABC和△ABC中
AB AB
相
似
三
角 形
预备定理
的
概
念
判定定理1 判定定理2 直角三角形判定定理
判定定理3
如果两个三角形有一个内角对应相等， 那么这两个三角形一定相似吗？
一角对应相等的两个三角形不一定相似。
随堂练习
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
（1）所有的等腰三角形都相似。× （2）所有的等腰直角三角形都相似。√ （3）所有的等边三角形都相似。√ （4）所有的直角三角形都相似。× （5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。√ （6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。× （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。√ （8）相似的两个三角形一定大小不等。×
的三角形相似EC，即CB是△EBD∽△ECB
证明：由已知条件，可得∠ACE= ∠BCE。
∵ ∠ACE与∠ABE是同弧上的圆周角，
∴ ∠ACE= ∠ABE ∴ ∠BCE= ∠ABE。
又∵ ∠BED= ∠CEB。 ∴ △EBD∽△ECB
∴ EB DB EC CB
结合下图，依照得出判定定理1的思路，即“在
运动中找不变性”我们还可以发现∠A=∠AA，D AE
此时两个三角形也相似。
AB AC
知识要点
三角形相似判定定理2 对于任意的两个三角形， 如果两个三角形的
两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等， 那么这两个三角形相似。
简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
A
A1
即： AB BC k, 如果 A1B1 B1C1
A
A
D B
E
B
C
C
证明: 在△ABC的边AB(或AB的延长线)上,截
取AD=A’B’,过点D作DE//BC,交AC于点
E.由预备定理得:
△ADE∽△ABC
A
∵∠ADE=∠B,∠B=∠B
∴∠ADE=∠B
B
C A
∵∠A=∠A, AD=AB
D
E
∴△ADE≌△ABC
∴△ABC∽△ABC
(1)两角对应相等,两三角形相似;
(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;
(3)三边对应成比例,两三角形相似.
A
如何 证明？
B
A
C B
C
下面对以上判定方法进行严格的证明（定义法）
如右下图：在△ABC中，D、E分别是AB、AC边
上的点，且DE∥BC，则在△ABC中有：
AD AE DE
例 如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和BD. 点E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB. 求证: △DBE∽△ABC.
分析:
容易得出∠ABC=∠DBE
A
只需要再证明 BE BC
即证 BE BD BD AB
D
BC AB
B
只要证明△ABD∽△CBE
C
E
研究两个三角形相似的判定问 题，除了上述方法外，还可以 通过与三角形全等的判定进行 类比，得出有关猜想。例如， 类比“三边对应相等，两三角 形全等”。可以得出猜想：三 边对应成比例，两三角形相似。 即判定定理3
B
C
∴∠DBC=180-2∠C ∴∠DBC=∠A 又∵∠C为公共角 ∴△ABC∽△BDC
AC BC BC CD
即 BC2=AC•CD
E
A
练一练 如图,圆内接△ABC角
D
平分线CD延长后交圆于一点E.
求证: EB DB EC CB
B
C
分析: 要证EB DB ，应考虑EB、BD 和EC、CB所在
A
AB AC BC
D
E
DE//BC
∠ADE=∠B
∠AED=∠C
B
C
∠A=∠A
如果D、E交在BA、 CA的延长线上，且
△ADE∽△ABC
DE∥BC，结论是 否仍然成立呢？
注：写相似时，要把表示对应角顶点的字母写
在对应的位置上。
EF//DB ED//BC
FBDE为
FB EA CB CA
EA DA CA BA
知识回顾
相似三角形的定义：
对应角相等，对应边成比例的两个三 角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的 比值叫做相似比(或相似系数).