5.A . 2+ (x+2)= 3 (X — 1)B . 2 — x+2 = 3 ( x — 1)C . 2—( x+2)= 3D . 2—( x+2 )= 3 (x — 1)2019年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷、选择题1•7的平方根等于（）A .-B . 49C .± 49D .土二2.已知 a= (— 3)X( :—4),2b =( - 4) ,c =（-3） 3,那么a 、b 、c 的大小关系为（)A . a> b>cB . a > c > bC . c >a > b D. b > a> c风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转•现有一长条3.矩形硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做 成一个能绕着小孔平稳旋转的风车•正确的粘合方法是（解分式方程 一一3时，去分母后变形正确的是（X-l 1-X4. AF 列尺规作图，能判断109.如图，已知△ OAB与厶OA' B'是相似比为 1 : 2的位似图形，点O为位似中心，若△是一对对应点，则点P'的坐标为（）B . (- 2x, -2y) C. (- 2x, 2y) D. (2x,- 2y)10.如图所示的暗礁区，两灯塔A, B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S)不进入暗礁区，那么S对两灯塔A, B的视角/ ASB必须（）6•某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考核（考核的满分均90、88、83分，那么小王的最后得分是（C. 10&如图是边长为10cm的正方形纸片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（10为100分），三个方面的重要性之比依次为3: 5: 2.小王经过考核后所得的分数依次为A . 87B . 87.5 C. 87.6 887.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（11A . (- x,—y)丫）与厶OA' B '内一点P915.如图，点 A 是反比例函数 V " K '-11：图象上的点，分别过点A 向横轴、纵轴作垂X线段，与坐标轴恰好围成一个正方形，再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余 部分涂上阴影，则阴影部分的面积为 _________ .B .小于60 °C .大于30°D .小于30°驾学V*211 .关于x 的不等式组i只有5个整数解，则a 的取值范围是（12.如图，延长 Rt △ ABC 的斜边 AB 到点D ,C.— 6vaw — ■ D6w a2 2连接CD ，若tan /BCD =丄，贝U 0使 BD = AB, C . 9二、填空题13•港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，整个大桥造价超过720亿元人民币，720亿用科学记数法可表示为元.BA .大于tan / A 的值是（A .14.填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律， a 的值是 ________16.以边长为4的正方形的中心 0为端点，弓I 两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交三、解答题17•计算:1 1- 'I --'.18.先化简，再求值：I ： 丁了" + J :-，且x 为满足-2W x v 2的整数.-x x ^+2x x19•小明学习电学知识后，用四个开关按键（每个开关按键闭合的可能性相等）、一个电源和一个灯泡设计了一个电路图（1）若小明设计的电路图如图 1 （四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求任意闭 合一个开关按键，灯泡能发光的概率；（2）若小明设计的电路图如图 2 （四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求同时时 闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率.（用列表或树状图法）20.如图，在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°,/ A = 30° .点 D 是AB 中点，点 E 为边 AC 上一点，连接CD , DE ，以DE 为边在DE 的左侧作等边三角形 DEF ，连接BF . （1 ）△ BCD 的形状为 _____ ;（2）随着点E 位置的变化，/ DBF 的度数是否变化？并结合图说明你的理由；AB 的最小值为多少钱？打了多少折?22.如图，已知 D , E 分别为△ ABC 的边AB , BC 上两点，点 A , C , E 在O D 上，点B , D在O E 上. F 为• 11上一点，连接 FE 并延长交AC 的延长线于点 N ,交AB 于点M .(1) 若/ EBD 为a 请将/ CAD 用含a 的代数式表示；(2) 若EM = MB ,请说明当/ CAD 为多少度时，直线 EF 为O D 的切线; (3) 在(2)的条件下，若AD =［求丄的值.23.如图，B (2m , 0)、C (3m , 0)是平面直角坐标系中两点，其中 m 为常数，且 m > 0,E ( 0, n )为y 轴上一动点，以 BC 为边在x 轴上方作矩形 ABCD ，使AB = 2BC ,画射线2OA ,把厶ADC 绕点C 逆时针旋转 90°得厶A ' D ' C ',连接ED ',抛物线y = ax +bx+n(a 丰0)过E 、A '两点.(1 )填空：/ AOB =__________ 。

，用m 表示点A '的坐标：A ' ____________ ; (2) 当抛物线的顶点为 A ',抛物线与线段 AB 交于点P ,且二_=时，△ D ' OE 与厶JT LTA 、B 两种商品打相同折以后，某人买 500件A 商品和450件B 商品一共比不打折少花I960元，请问A 、B 两种商品打折前各元，买50件A 商品和10件B 商品用了 840元.30件B 商品用了 1080ABC是否相似？说明理由；(3)若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为M，过M作MN垂直y轴，垂足为N :①求a、b、m满足的关系式；②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为5，请你探究a的取值范围.2019年广东省深圳市南山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析、选择题1 • 7的平方根等于（）A •-B • 49 C. 土49 D • ±-【分析】根据平方根的定义，即可解答.【解答】解：= 7,••• 7的平方根是土二.故选：D.【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记正数的平方根有两个.2 32.已知a= （- 3）X （ - 4） , b= （- 4）,c= （ - 3）,那么a、b、c的大小关系为（）A . a> b>cB . a>c> b C. c>a> b D. b>a> c【分析】先根据有理数乘法和乘方运算得到a= 12 , b= 16, c=- 27,然后根据正数大于0,负数小于0进行大小比较.【解答】解：I a= 12, b= 16, c=- 27,• cv av b.故选：D.【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0;负数的绝对值越大，这个数越小•也考查了有理数乘法和乘方.3 •风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转•现有一长条矩形硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车•正确的粘合方法是（）【分析】 抓住一点：风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，结合选项进行判 断即可.【解答】解：风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形,A 、 是中心对称图形，并且不是轴对称图形，符合题意；B 、 不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；C 、 是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；D 、 不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；故选：A .【点评】本题考查了利用旋转涉及图案，注意抓住解题的关键：风车的特点.【分析】过点A 作BC 的垂线，垂足为 D ，则AD 即为所求. 【解答】解：过点A 作BC 的垂线，垂足为 D , 故选：B .【点评】 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图, 一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法•解决此类题目的关键是熟悉基本几何图 形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图2 x+25.解分式方程 一一+'=3时，去分母后变形正确的是()X-l 1-XA . 2+ (x+2)= 3 (x - 1)B . 2 - x+2 = 3 ( x - 1)C . 2-( x+2 )= 3D . 2-( x+2 )= 3 (x - 1)4.下列尺规作图，能判断【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断.【解答】解：方程变形得：二厂：=3,x-l X-1去分母得：2-（x+2） = 3 （x - 1）,故选：D.【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.6.某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考核（考核的满分均为100分）,三个方面的重要性之比依次为3: 5: 2 .小王经过考核后所得的分数依次为90、88、83分，那么小王的最后得分是（）A . 87B . 87.5 C. 87.6 D. 88【分析】将三个方面考核后所得的分数分别乘上它们的权重，再相加，即可得到最后得分.【解答】解：小王的最后得分= 90X +88 X +83X ' = 27+44+16.6 = 87.6 （分），10 10 10故选：C.【点评】本题主要考查了加权平均数，数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响.7.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A. 8B. 9C. 10D. 11【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算.【解答】解：多边形的外角和是360 °,根据题意得：180° ?（n- 2）= 3X 360°解得n= 8.故选：A.【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征.求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决.&如图是边长为10cm的正方形纸片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确的是（）【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线为 10 '：^ 14,由此即可判定D 不正确.【解答】解：选项D 不正确.理由： •••正方形的边长为10, •••对角线=10匚~ 14 ,••• 16> 14,•••这个图形不可能存在. 故选：D .【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理求出正 方形的对角线的长.A . (- x ,- y )B . (-2x , - 2y )C . (- 2x , 2y )D . (2x ,- 2y )【分析】由图中易得两对对应点的横纵坐标均为原来的- 2倍，那么点P 的坐标也应符合这个规律.【解答】解：T P (x , y ),相似比为1 : 2，点O 为位似中心， • P '的坐标是(-2x ,- 2y ). 故选：B .【点评】此题主要考查了位似变换，解决本题的关键是根据所给图形得到各对应点之间9.如图，已知△ OAB 与厶OA ' B '是相似比为1 : 2的位似图形，点 O 为位似中心，若△OAB 内一点P( x, 丫)与厶OA ' B '内一点P '是一对对应点,则点P '的坐标为(的坐标变化规律.10•如图所示的暗礁区，两灯塔A, B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不【分析】连接OA, OB, AB及BC,由AB等于圆的半径，得到三角形AOB为等边三角形，根据等边三角形的性质可得/ AOB = 60°，由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，求出/ ACB的度数，再由/ ACB SCB的外角，根据三角形的外角性质：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，可得/ ASB小于/ ACB，即可得到正确的选项.【解答】解：连接OA, OB, AB, BC,如图所示:•/ AB= OA = OB，即△ AOB为等边三角形，•••/ AOB= 60 ° ,•••/ ACB与/ AOB所对的弧都为-I.,.•./ ACB=亠/ AOB= 30°,2又/ ACB SCB的外角，•••/ ACB>Z ASB,即/ ASBv 30°.故选：D.【点评】此题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，以及等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，灵活运用圆周角定理是解本题的关键.筈亠-5工+耳只有5个整数解，则a的取值范围是（I 2C.大于30° D .小于30°11 .关于x的不等式组〕A .大于B .小于•••不等式组只有5个整数解，即解只能是 x = 15, 16, 17, 18, 19,故选：C .【点评】 本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解确定关 于a 的不等式组.12.如图，延长 Rt △ ABC 的斜边 AB 到点D ，使BD = AB ，连接CD ，若tan /BCD =一，贝U【分析】若想利用tan /BCD 的值，应把/ BCD 放在直角三角形中，为此，过 B 作BE //AC 交CD 于E ,得到△ ACD 的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比.【解答】解：如图，过 B 作BE / AC 交CD 于E .•••AC 丄 BC ,• BE 丄 BC ，/ CBE = 90°, • BE /AC . •/ AB = BD ,【分析】先解x 的不等式组解得:\<20x>3-2a的取值范围是: ••• a 的取值范围是：*3-2a<15C . 9A . - 6v av-LB . - 6W av-L C.- 6v aw-L D. - 6< a <-JL【解答】解：不等式组?解得：-6v aw-tan / A 的值是（16 x 25= 400,••• AC = 2BE .又•/ tan / BCD = _，设 BE = x ，贝U BC = 3x , AC = 2x ,3• tanA = 1 -= -：='.AC 2i 2故选：D .【点评】 本题考查了解直角三角形，三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答 此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算. 、填空题13.港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，整个大桥造价超过720亿元人民币，720亿用科学10记数法可表示为 7.2X 1O 10元.【分析】科学记数法的表示形式为 a x l0n的形式，其中1 w|a|v 10, n 为整数.确定 n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同.当原数绝对值〉1时，n 是正数；当原数的绝对值v 1时，n 是负数.【解答】 解：720 亿=72000000000= 7.2 x 1010. 故答案是：7.2 x 1010.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a x 10n的形式，其中1 < |a|v 10, n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及n 的值.1X 4=4, 4X 9= 36,9X 16= 144,14.填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律, a 的值是 900【解答】解：根据下面一行数字变化规律25 x 36= a= 900,故答案为：900.【点评】 此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现•对于找规律的题 目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.15.如图，点 A 是反比例函数 K Ji ：图象上的点，分别过点 A 向横轴、纵轴作垂部分涂上阴影，则阴影部分的面积为用正方形面积减去圆面积即可.【解答】解：设A (- m , m ),其中m >0, 贝廿-m 2=- 2,键.16.以边长为4的正方形的中心 O 为端点，弓I 两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交 于A 、B两点，则线段 AB 的最小值为 2匚.【分析】根据正方形的对角线平分一组对角线可得/ OCD =Z ODB = 45°,正方形的对角线互相垂直平分且相等可得/COD = 90°, OC = OD ，然后根据同角的余角相等求出线段，与坐标轴恰好围成一个正方形， 再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余k =-2，求得m 为：，可知圆的半径为•••m=':,S 阴=S 正-S 圆=2- 故答案为2 -丄n .2【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，正确运用 k 的几何意义是解题的关),根据 ，然后/ COA=Z DOB，再利用“ ASA”证明△ COA和厶DOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OA= OB，从而得到△ AOB是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得OA丄CD 时，OA最小，然后求出OA，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的■■倍解答即可. 【解答】解：•••四边形CDEF是正方形，•••/ OCD = Z ODB = 45°,/ COD = 90°, OC = OD ,TAO 丄OB,•••/ AOB= 90 ° ,•••/ COA+ / AOD = 90°,/ AOD + / DOB = 90°,•••/ COA=/ DOB,r Z0CA=Z0DB在厶COA和厶DOB中，* K二QD ,ZAOC=ZDOBL•••△ COA^A DOB (ASA),•OA= OB,•••/ AOB= 90 ° ,•△ AOB是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB = '「匸__「- __. - OA,要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂线段最短，OA丄CD时，OA最小，•••正方形CDEF ,•FC 丄CD , OD = OF ,•CA= DA,OA= 1 CF = 2,2AB =衫〉：0A =.故答案为：2匚.【点评】本题考查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质， 垂线段最短，勾股定理, 熟记各性质并求出三角形全等，然后求出△ AOB 是等腰直角三角形是解题的关键.三、解答题17•计算：.：；『；:1 1- 'I - - -•【分析】直接利用零指数幕的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数 指数幕的性质分别化简得出答案.【解答】解：原式=4 X ■ - -（ 2二-3）- 2+12=2 二+3 - 2 7- 2+1=2 •【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.丫二―？货+1 廿？—4 918•先化简，再求值：•：.::，且x 为满足-2W xv 2的整数.-x x ^+2x x【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得.2【解答】解：原式=[:]十.x （x-l ） x （x+2） K=（一一 1+旷2）十工K XX= 2x-3 ?_K _ =，.二_2x-3=::，•/ XM 0且 XM 1, XM — 2,.在-2< xv 2范围内符合分式的整数有 x =- 1,【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算 法则及分式有意义的条件.19•小明学习电学知识后，用四个开关按键（每个开关按键闭合的可能性相等）、一个电源则原式=-2-3 =2 =和一个灯泡设计了一个电路图（1）若小明设计的电路图如图1 （四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求任意闭合一个开关按键，灯泡能发光的概率；（2）若小明设计的电路图如图2 （四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求同时时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率. （用列表或树状图法）【分析】（1）直接利用概率公式计算得出答案；（2 ）禾9用树状图列举出所有可能，进而求出答案.【解答】解：（1）一共有四个开关按键，只有闭合开关按键K2，灯泡才会发光，所以P （灯泡发光）=-4一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光，所以P （灯泡发光）=6 112_2【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率•列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.20.如图，在Rt△ ABC中，/ C= 90°,/ A = 30° .点D是AB中点，点E为边AC上一点，连接CD, DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF .（1 ）△ BCD的形状为等边三角形;（2）随着点E位置的变化，/ DBF的度数是否变化？并结合图说明你的理由；（3）当点F落在边AC上时，若AC= 6，请直接写出DE的长.图1【分析】(1)由/ C = 90°、/ A= 30 °，可得出AB= 2BC、/ CBD = 60°，结合点D 是AB中点，可得出BD = BC,进而即可得出△ BCD为等边三角形；(2)由(1 )可得出/ ECD = 30°，根据/ BDF + / FDC = / EDC + / FDC = 60° 可得出/ BDF = / CDE，再结合BD = CD、DF = DE 即可得出厶BDF CDE ( SAS),根据全等三角形的性质即可得出/ DBF =/ DCE = 30°,即/ DBF的度数不变；(3)易证△ CDF、△ ADE为等腰三角形，由等腰三角形及等边三角形的性质可得出CF =DF = EF = DE = AE，进而可得出DE = AE=2A C = 2.3【解答】解：(1)V在RtAABC 中，/ C= 90°,/ A= 30°,••• AB= 2BC，/ CBD = 60°.•••点D是AB中点，•BD= BC,•△ BCD为等边三角形.故答案为：等边三角形.(2)/ DBF的度数不变，理由如下：•••/ ACB= 90 °，点D 是AB 中点，CD = AB= AD ,2•/ ECD = 30°.•••△ BDC为等边三角形，•BD = DC，/ BDC = 60°.又•••△ DEF为等边三角形，•DF = DE，/ FDE = 60°,•/ BDF + / FDC = / EDC+ / FDC = 60°,•/ BDF = / CDE .r BD=CD在厶BDF和厶CDE中，・NBDF二WCDE，HF 二DE•••△ BDF ◎△ CDE ( SAS),•••/ DBF = Z DCE = 30°,即/ DBF的度数不变.(3)•••△ DEF为等边三角形，•••/ DEF = Z DFE = 60°.•••/ A=Z ECD = 30°,•••/ ADE = Z CDF = 30°,• △ CDF、△ ADE为等腰三角形,CF = DF = EF = DE = AE,DE = AE」AC = 2.【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形.勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：(1)找出/ CBD = 60 °、BD = BC; ( 2)利用全等三角形的判定定理SAS找出△ BDF◎△ CDE ; (3)根据等腰三角形及等边三角形的性质找出DE = AE = 1 AC .321•某专卖店有A、B两种商品，已知在打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080 元，买50件A商品和10件B商品用了840元.A、B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，请问A、B两种商品打折前各多少钱？打了多少折？【分析】设A商品打折前的单价为x元/件，B商品打折前的单价为y元/件，根据“买60 件A 商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元”即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可求出x, y的值，再利用折扣率=现价十原价X 10,即可求出结论.【解答】解：设A商品打折前的单价为x元/件，B商品打折前的单价为y元/件，依题意，得：$血+30尸1预，l50x+10y=340解得：［E6,L y=4•••( 16X 500+4 X 450 - I960) -( 16X 500+4 X 450) X 10 = 8.答：A商品打折前的单价为16元/件，B商品打折前的单价为4元/件，打了8折.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.22.如图，已知D, E分别为△ ABC的边AB, BC上两点，点A, C, E在O D上，点B, D在O E 上. F为|1上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N,交AB于点M .(1)若/ EBD为a,请将/ CAD用含a的代数式表示；(2)若EM = MB,请说明当/ CAD为多少度时，直线EF为O D的切线；(3)在(2)的条件下，若AD =二，求丄的值.【分析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角得：/ EDB = Z EBD = a / CAD =Z ACD , / DCE = Z DEC = 2 a,再根据三角形内角和定理可得结论；(2)设/ MBE = X,同理得：/MEB = Z MBE = x,根据切线的性质知：/ DEF = 90°, 所以/ CED + Z MEB = 90°,同理根据三角形内角和定理可得/ CAD = 45°;(3)由(2)得：Z CAD = 45° ;根据(1)的结论计算ZMBE = 30°，证明△ CDE是等边三角形，得CD = CE= DE = EF = AD = ；，求EM = 1 , MF = EF - EM = ； - 1,根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN = CE =二，代入化简可得结论.【解答】解：(1)连接CD、DE , O E中，T ED = EB , •Z EDB = Z EBD = a,•Z CED = Z EDB+ Z EBD = 2 a,O D 中，T DC = DE = AD ,•••/ CAD = Z ACD，/ DCE = Z DEC = 2 a,△ ACB 中，/ CAD+ / ACD + Z DCE + / EBD = 180°,(2) 设/ MBE = x , •/ EM = MB ,•••/ MEB = Z MBE = x,当EF 为O D 的切线时，/ DEF = 90°, •••/ CED+ / MEB = 90°,•••/ CED = Z DCE = 90°- x,△ ACB 中，同理得，/ CAD + Z ACD + Z DCE+ / EBD = 180°, • 2Z CAD = 180°- 90°= 90°, • Z CAD = 45°;(3) 由(2)得：Z CAD = 45°; 由(1)得：Z CAD = * 7- “二• Z MBE = 30°,• Z CED = 2Z MBE = 60°, •/ CD = DE ,• △ CDE 是等边三角形， • CD = CE = DE = EF = AD =；,Rt △ DEM 中，Z EDM = 30°, DE = 乙• EM = 1, MF = EF - EM ='； - 1 ,△ ACB 中，Z NCB = 45° +30°= 75°, △ CNE 中，Z CEN=Z BEF = 30°,• Z CNE= 75° , • Z CNE=Z NCB= 75°, • EN = CE = ■,.MN =砸+EJ =^+l = 2y•-= =.=•••/ CAD【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型.23.如图，B (2m, 0)、C (3m, 0)是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m> 0,E ( 0, n)为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB= 2BC,画射线2OA,把厶ADC绕点C逆时针旋转90°得厶A' D' C',连接ED抛物线y= ax +bx+n(a丰0)过E、A'两点.(1 )填空：/ AOB = 45 °，用m表示点A'的坐标：A' ( m,- m) ;(2)当抛物线的顶点为A',抛物线与线段AB交于点P,且二-时，△ D ' OE与厶AP 3ABC是否相似？说明理由；(3)若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为M，过M作MN垂直y轴，垂足为N :①求a、b、m满足的关系式；②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为5，请你探究a 的取值范围.图1 爸用图【分析】(1 )由B与C的坐标求出OB与OC的长，根据OC - OB表示出BC的长，由AB，得到AB = OB,即三角形AOB为等腰直角三角形，即可求题意AB = 2BC,表示出出所求角的度数；由旋转的性质得：OD ' = D ' A'= m,即可确定出A'坐标;(2)△ D' OEs^ ABC，理由如下：根据题意表示出A与B的坐标，由二=丄，表示AP 3出P坐标，由抛物线的顶点为A '，表示出抛物线解析式，把点E坐标代入整理得到m与n的关系式，禾U用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；2(3)①当E与原点重合时，把A与E坐标代入y= ax+bx+c,整理即可得到a, b, m 的关系式；②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点 C (3m, 0),此时MN的最大值为5,求出此时a的值；若抛物线过点A (2m, 2m),求出此时a的值，即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围.【解答】解：(1)v B (2m, 0) , C (3m, 0) , A OB= 2m, OC = 3m, 即卩BC= m ,•/ AB= 2BC ,A AB= 2m= OB ,•••/ ABO= 90 ° ,•••△ ABO为等腰直角三角形，A / AOB= 45 ° ,由旋转的性质得：OD'= D ' A' = m, 即卩A' ( m,—m);故答案为：45; m, —m；(2)△ D ' OEs^ ABC，理由如下：由已知得：A (2m, 2m), B (2m, 0),••聖=丄.，•=：；，A P (2m , m),•A'为抛物线的顶点，A设抛物线解析式为y= a (x—m) 2—m ,••抛物线过点E (0 , n),A n = a (0 —m) —m,即m= 2n ,A OE：OD'= BC：AB = 1：2 ,•/ EOD '= / ABC = 90° ,•••△ D ' OEABC ；(3)①当点E与点O重合时，E ( 0 , 0),T抛物线y= ax+bx+ n过点E, A',n=0、am +bnr+n=-n整理得：am+b=- 1，即b =- 1 - am；②•••抛物线与四边形ABCD有公共点，•••抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小,若抛物线过点C （3m，0），此时MN的最大值为5，2• a （3m）-（1 + am）?3m= 0，整理得：am=，即抛物线解析式为y= 1 x2-' x，2 2m 2由A （2m，2m），可得直线OA解析式为y= x，联立抛物线与直线OA解析式得：* 1 2 3 ，解得：x= 5m，y= 5m，即卩M （5m，5m），令5m= 5，即卩m= 1，当m= 1 时，a =';2若抛物线过点A （2m，2m），贝U a （2m）2-（1+am）?2m= 2m，解得：am = 2，•/ m= 1，•- a = 2，则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为一w a< 2.2【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，直线与抛物线的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.。