10．1．1 离散时间 简单的说，一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性(trend)，就可以称之为鞅； 而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅(submartingale)；反之，如果该过程总是在减少，则 称之为上鞅(supermartingale)。因此实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随机运动形式， 或者说是具有某种可以用条件数学期望来进行特征描述的随机过程。 我们循序渐进地分成 4 个步骤来正式定义鞅： 1)首先，描述概率空间。存在一概率空间{Ω, F , P} ，要求σ-代数 F 是 P -完备的，即 对于任何 A ∈ F 且 P(A) = 0 ，对一切 N ⊂ A 都有 N ∈ F 成立5。接下来，
F b 集合表示股票价格两次变动以后所有可能发生的情况，它仅仅说明了事物发展的 未来潜在可能性，它相当于位于二项树上的 0 点。在 0 时刻信息结构是最平凡的，即： F 0 = {∅, Ω}。而 F a 则刚好相反，它完全揭示出所有的世界状态，正是在最终的 2 时刻， 究竟哪种状态会发生已经成为了事实。 F c 则代表了一种中间状态，好比在 1 时刻，我们 知道如果状态{uu,ud} 发生，即前进到 d[1] 点后，{dd} 或者{ud} 之一必定会发生，到底是
10．1．1
F m ⊆ F n ⊆ F o ……
实际上 F n 就是 n 时刻的分割产生的σ-代数，这样的σ-增族记为：
F = (F n ) n∈Z+
我们称它为滤子(filter)或者滤波7。给定一个滤波就决定了在给定概率空间中的历史演化 和信息传播过程(见金融相关点 10-1)。四位一体的{Ω, F , P, F} 被称为滤过(filtered)的概率空
10．3．2 多布-迈耶定理 10．3．3 二次变差过程 10．4 再论随机积分 10．4．1 鞅变换和随机积分 10．4．2 简单过程随机积分 10．4．3 再论伊藤积分 10．5 测度变换和鞅表示 10．5．1 直观理解 10．5．2 拉登-尼科迪姆导数 10．5．3 哥萨诺夫定理 10．5．4 鞅表示定理
2)描述滤波(filtration)。设想我们在一些时点上观察一种股票的价格 (Sn )n∈Z+ 随时间的波
动情况6。令 (F )n n∈Z+ 代表在不同时点上投资者获得的有关股票价格的历史信息，随着时间的
推移，越来越多的数据被追加到这个信息集合中，它会越来越丰富。当 m < n < o 时，这一
族信息集合必然满足：
谁，仍然不能够确定；而 u[1] 点以后的发生的情况则不清楚或者不重要了。因此这些分割
就适当地代表了一个动态系统中的 0、完全和部分的信息。我们知道 F a 比 F c 精细，而 F b 是最粗糙的分割，把它们串联起来就有：
Fb < Fc < Fa 因此从粗到细排列这些分割，还代表了信息的传递过程。 正式一些，假定同一状态空间中存在 N + 1 个分割，它们满足下列 3 个条件： 1)第一个分割是最粗糙的，即： F 0 = {Ω,∅} = {{ω1,ω 2 ,...,ω n}} ； 2)最后一个分割是最精细的，即： F N = {{ω1},{ω2},...,{ωn}} ； 3)对于任何 s < t ， F t 分割比 F s 要精细。 这样定义的分割序列，就是一个“过目不忘”的学习过程。在最初的 0 时刻，未来 世界视野一片模糊，唯一可知的是 Ω 中的某种状态会发生。下一个时刻有一些新的信息 来临，即有一个比较粗的分割，在任意时刻，我们对于(价格)信息知识的了解始终在增 长。最后时刻一切都昭然若揭，我们完全了解了从 0 到 N 时刻哪一个状态发生了，它又 是如何演化的。这在实际中是容易做到的，只要投资者有一个好记性或者容量足够大的 硬盘就可以了。符合上述 3 个条件的一组分割就被称为信息结构，它的数学对应物就是 滤波。
考虑一个如下图所示的重合(recombining)的二项树模型。
4 期望收益等于参加费用的赌博也可以认为是统计上公平的。 5 我们会经常看到这一类技术性的要求，它是保证数学上严密性的需要，在经济分析则往往找不到合适的 对应物。幸运的是，经济分析中大多数问题具有良好的性质。
6 我们用 Z + 表示正整数。 7 实际上 F = (F n ) n∈Z+ 可以作更为广泛的理解，它也可以是无限维向量，如果仅仅解释为价格或者收益就 和法马(Fama E．)定义的弱的市场效率的基础相吻合，这也是我们这里的定义。这样假定时，我们说滤波 是由价格过程生成的(generated)。 8 这里的描述主要来自于 Dothan(1990)和 Rebonato(1998)。
本章的学习目标为： 了解信息结构和信息一致性的数学表述方式和经济含义 明确鞅的定义(离散和连续)，以及连续时间情形下的一些技术性要求 熟悉二项过程和布朗运动等常见鞅和它们的轨道特征 了解鞅的几个重要子类：一致可积鞅和平方可积鞅 了解停时概念和最优停止定理 了解由停止一个鞅产生的局部鞅以及其它鞅型随机过程 了解多布-迈耶分解定理，以及二次变差和协变差过程的概念 了解各种被积函数和积分算子情况下，定义随机积分的方法 掌握随机伊藤积分的定义和主要性质 掌握拉登-尼科迪姆导数的各种形式和性质 掌握凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理，并熟练应用该定理进行测度变换 掌握鞅表示定理，并理解该定理在分析交易策略的可行性和构造完备市场模型 中的作用
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资产的贴现价格都是一个鞅1。这就使得鞅就成为了现代金融资产定价技术所必须的主流数 学工具。相对于上一章随机微积分而言，由于较多地借助测度理论，鞅显得更加抽象，但令 人惊奇的是，它的引入不仅使得微观金融理论分析(例如期权定价)变得更加简洁和优雅；并 且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大的运算能力，而这对于实际工作又 是至关重要的。因此今天，鞅方法及其辅助它的强大数值(模拟)技术成为了当今金融理论研 究者和实践工作者必不可缺的基本装备2。
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第十章 随机过程 II：鞅
7 基础微积分
7 线性代数
8 概率论
9 随机微积分
10 鞅
11 偏微分方程
11 数值方法
10．1 概述 10．1．1 离散时间 10．1．2 连续时间 10．1．3 鞅的例子 10．1．4 鞅的子类 10．2 停时和鞅型序列 10．2．1 停时定义 10．2．2 最优停止定理 10．2．3 鞅型序列 10．3 多布-迈耶分解 10．3．1 多布分解定理
鞅这个术语早在 20 世纪 30 年代首先由 Ville(1939)引进，但是其基本概念来自于法国 概率学家列维(Levy，1934)。真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布(Doob)，他在 1953 年的名著《随机过程》一书中介绍了(包括上鞅分解问题在内的)他对于鞅理论的系统研究成 果。它随即引起了概率学家们对一般随机过程理论研究的兴趣，并逐渐使得鞅成为现代概率 和随机过程理论的基础。
鞅在微观金融分析中的应用是随着哈里森(Harrison J．M)同克里普斯(Kreps D．M．)1979 年，以及哈里森和帕里斯卡(Pliska S．R．)1981 年两篇经典论文的发表开始的。他们证明了 所谓的资产定价基本定理：当而仅当金融市场上不存在“免费午餐”(free lunch)，所有金融
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计上是公平的4。 在金融分析中，投资者通常会根据过去发生的事件来指导未来的投资决策，我们可以把
X 设想为由于信息发布而产生波动的金融资产价格(过程)，而 EX n 就是对这种价格运动的 预测，而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相关的数 学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情，因此鞅在 20 世纪 80 年代以后迅速成为主 流金融经济学研究中标准的时髦。
10．1 概述 “鞅”一词来源于法文 martingale 的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指 一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法(double strategy)。为了理解它的原意，不 妨来玩一种纸牌游戏。 在 52 张牌中任意抽取一张，如果抽到一张红色的方块或者红心就赢一笔钱，否则就输 掉这笔钱。采用以下的赌博方法：从一块钱开始，如果抽到的是黑色纸牌就加倍赌注，如果 抽到的是红色纸牌就此收手。假定一个赌徒已经连续输了 4 次，他就失去了 1+2+4+8=15 块 钱。在第 5 次赌的时候，他把赌注加倍到了 16。这次很幸运，出现的确实是红色纸牌。他 赢得了 16 元抵去输掉的 15 元，他还净赚 1 元。这种赌博方法的优点在于：只要你有足够的 资本来不断加倍赌注的话，你总是会赢的。事实是：如果不幸所有 26 张黑色纸牌全让你抽 到了，为了赢一块钱，你需要 6700 万元来下最后一注。很可能在此之前，你已经破产了。 这种赌博方式在理论和实际中含义都十分隽永，它被称为鞅3。 但是这种已经在现代赌场中被严格禁止的赌博方式本身还没有说明鞅在金融学理论研 究中的确切含义。鞅究竟是什么呢？简单的说，鞅是“公平”赌博(fair game)的数学模型。 那么什么又是公平的赌博呢？仍然假设一个人在参加赌博，他已经赌了 n 次，正准备参加第 n +1 次赌博。如果不做什么手脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的。用 X n 表示 他在赌完第 n 次后拥有的赌本数，如果对于任何 n 都有
E( X n | X n−1 ) = X n−1 成立，即赌博的期望收获为 0，仅能维持原有财富水平不变，就可以认为这种赌博在统
1 根据这一原则金融市场上的任何资产的价格就可以被合理的决定。因而他们的工作得到积极的响应并开 启了现代金融研究的新时代，鞅这种全新的分析工具被引入了。 2 数值(模拟)技术见 11．4 节。 3 还启发我们去考虑这样一些问题：最优停止时刻是什么，有限财富的赌徒必定输光等等，现代随机概率 理论中的重要概念和定理。在实际中，现代赌场中明确禁止这种赌博方式，但是金融中却常常存在这样的 情况，例如利森的豪赌。此外加倍策略将干扰资产定价基本定理。