n
n
间[xi－1，xi]上任取一点 ζi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ζi)Δx＝
i＝1
i＝1
b－n af(ζi)，当 n→∞时，此和式无限接近某个常数，
这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作b f(x)dx， a
即b a
n
f利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积 分．
(4)利用定积分求曲线所围成平面图形的面积，要利用数 形结合的方法确定被积函数和积分上下限．
2.
由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、y＝ g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积：
S＝b[f(x)－g(x)]dx(如图)． a
3．定积分的性质
kbf(x)dx
(1)b kf(x)dx＝

a
(k 为常数)；

a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝
bf1(x)dx±bf2(x)dx
a
a
；
a
bf(x)dx
(3)c f(x)dx＋b f(x)dx＝

a
(其中 a<c<b)


a
F(b)－F(a)．
其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数．
思想方法技巧
一、思想方法 (1)数形结合思想：求曲线围成图形的面积，要画出草 图，寻找积分上限和积分下限，以及被积函数的形式． (2)极限的思想：求曲边梯形的面积时，分割，近似代 替，求和，取极限，采用的是以直代曲，无限逼近的极限思 想． (3)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算，是求 定积分常用的方法． (4)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方法．
-2
2，m]上该函数图象应为14的圆，于是得 m＝－1.故选 A.
答案：A
点评：理解被积函数的几何意义，是解决这类问题的突破 口.
定积分的性质与微积分基本定理
[例2] 求下列定积分 (1)2(x2＋x)dx＝________；
二、解题技巧 1．(1)用定义求定积分的方法：分割、近似代替、求 和、取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等案 例，体会定积分的基本思想方法． (2)用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x) ＝f(x)的函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算 的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则 从反方向上求出F(x)．
③求和： n f(ξi)·b－n a；
i＝1
④取极限：abf(x)dx＝linm→∞i＝n 1f(ξi)·b－n a.
(3)定积分bf(x)dx 的值只与被积函数 f(x)及积分区间[a，b] a
有关，而与积分变量所用的符号无关． 2．定积分的几何意义 当 f(x)≥0 时，定积分b f(x)dx 的几何意义：表示由直线 x

a
＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面 积．当 y<0 时，即曲边梯形在 x 轴的下方时b f(x)dx 在几何上

a
表示这个曲边梯形面积的相反数．
一般情况下(如图)，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、 a
函数 f(x)的图象以及直线 x＝a、x＝b 之间各部分面积的代数 和，在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面积取负号．
a
c
4．微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F ′(x)＝f(x)，那么b f(x)dx＝ F(b)－F(a)．这个结论叫

a
做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方
便，我们常常把 F(b)－F(a)记成 F(x)|ab，
即b
f(x)dx＝F(x)|ba＝
b－n af(ζi)，这里 a 与 b 分别叫做积分下限与
积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数， x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式．此时称函数 f(x)在区间[a， b]上可积．
对定义的几点说明： (1)定积分bf(x)dx 是一个常数．

a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①均匀分割：n 等分区间[a，b]； ②近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]；
考点典例讲练
定积分的几何意义 [例 1] (2011·潍坊二模)曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x ＝0，x＝2π所围成的平面区域的面积为( )
分析：在同一坐标系中作出函数 y＝sinx，y＝cosx，和直 线 x＝0，x＝π2，观察它们所围成的图形，找出积分上下限和 最积函数．
解析：当 x∈[0，2π]时，y＝sinx 与 y＝cosx 的图象的交点坐标为 π4， 22，作图可知曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x＝0，x＝π2所围成 的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x＝0，x＝π4所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线 y＝ sinx，y＝cosx 与直线 x＝π4，x＝π2所围成的平面区域的面积．且这两 部分的面积相等，结合定积分定义可知选 D.
答案：D
若定积分m -2
A．－1
－x2－2xdx＝π4，则 m 等于(
B．0
C．1
) D．2
解析：根据定积分的几何意义知，定积分m －x2－2xdx -2
的值，就是函数 y＝ －x2－2x的图象与 x 轴及直线 x＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y＝ －x2－2x是圆心(－1,0)，半径为 1 的上半圆，其面积等于π2，而m －x2－2xdx＝4π，即在区间[－
第三章
第四节 定积分与微积分基本定理
泰安二中数学2020年2月29日星期六
基础梳理导学
重点难点 引领方向 重点：了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分， 用微积分基本定理求简单的定积分． 难点：用定义求定积分．
夯实基础 稳固根基 1．定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi －1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区