湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学文试题考试时间：8月10日 14:00-16:00 本卷满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,4}，N ＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N ) 2. i 为虚数单位，512iz i=-, 则z 的共轭复数为 ( ) A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i 3．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 64．已知命题 p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则 ( )A. 00:,cos 1p x R x ⌝∃∈≥B. :,cos 1p x R x ⌝∀∈≥C. :,cos 1p x R x ⌝∀∈>D. 00:,cos 1p x R x ⌝∃∈>5．若,x y 满足10210y x y x y m -≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，若目标函数z x y =-的最小值为－2，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 2C. 8D. －16．直线:1l y k x =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是 ( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln(x －0.5)8. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(1D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D A B C -在xO y ，yO z ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 ( )(第3题图)A. 123S S S ==B. 23S S =且 31S S ≠C. 13S S =且 32S S ≠D. 12S S =且 13S S ≠9．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积，则2C 的渐近线方程为 ( )A.0y ±=B. 0x =C.20x y ±=D.20x y ±=10．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且()f x 的导函数()f x '在R 上恒有()1f x <'，则不等式 ()1f x x <+的解集为 ( )A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11. 不等式521≥++-x x 的解集为 .12. 某几何体的三视图如右图所示，根据所给尺寸（单位：cm ），则该几何体的体积为 3cm 。
13．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校抽取6所学校对学生进行视力调查.若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，则抽取的2所学校均为小学的概率为_________14. 已知1sin cos 5αα-=- ,则 sin 2________α=15．设,x y ∈R ，(,1)x a =r ，(1,)y =r b ，(2,4)=-r c ，且⊥r r c a ，rb ∥c ，则⋅（）r r r a -2b c =____16．过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 .17．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有 1122122()()()()x f x x f x x f x x f x+>+，则称函数()f x 为“H 函数”. 给出下列函数①xy e x =+;②2y x =;③3sin y x x =-;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的所有序号为 .俯视图左视图三、解答题：本大题共5小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 18.（本小题满分12分）在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知2cos(A )cosCa b C c ++= (Ⅰ) 求角C 的大小;(Ⅱ) 若c=2，求使ΔABC 面积最大时，a, b 的值.19．（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若n n n a a b 21log =，n n b b b S +++= 21，求使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.20．（本小题满分13分）如图，ABC ∆中，90,1,B AB BC D E ∠==、两点分别是线段AB AC 、 的中点，现将ABC ∆沿DE 折成直二面角A DE B --。
(Ⅰ) 求证：ADC ABE ⊥面面； (Ⅱ)求直线AD 与平面ABE 所成角的正切值.21．（本小题满分14分）已知O 为坐标原点，(,)P x y 为函数1ln y x =+图像上一点，记直线OP 的斜率()k f x =.(Ⅰ) 若函数()f x 在区间1(,)(0)2m m m +>上存在极值，求实数m 的取值范围;(Ⅱ) 当1x ≥时，不等式()1tf x x ≥+恒成立，求实数t 的取值范围.ABCD E ABCDE22．（本小题满分14分）已知点A （0，2-），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF，O 为坐标原点. (Ⅰ) 求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当O P Q ∆的面积最大时，求l 的方程.湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期新高三起点考试数 学（文科 ）参考答案一、选择题(每小题5分,共50分)二、填空题(每小题5分,共35分) (,3][2,-∞-+∞ 1515 242520-2①③ 三、解答题：18. 解：(Ⅰ)cos(A C)cos(B)cosB π+=-=-由题意及正弦定理 2sin sin cos sin cosCA B BC +-∴=即 2sin cosC (sinBcosC cosBsinC)sin(B C)sinA A =-+=-+=-(0,)A π∈ s i n 0A ∴> 从而1cos 2C =- 又(0,)C π∈ 23C π∴= …………………6分(Ⅱ) 由余弦定理 2222cos c a b ab C =+-22142()2a b ab ∴=+-⋅- 即 224a b ab =++22423a b ab ab ab ab ∴=++≥+=4433ab ab ∴≥≤， (当且仅当a b =时成立)1sinC 24ABC S ab ==a b ∴=当时ΔABC面积最大为3，此时=3a b =故当a b =ΔABC19．解：（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为.q依题意，有3242(2)a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =，2420a a ∴+=，∴213118,20,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解之得12,2q a =⎧⎨=⎩ 或11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩又数列{}n a 单调递增，∴ 2q =，12a =，∴数列{}n a 的通项公式为2.nn a =…………………6分(Ⅱ) 122l o g 22n n nn b n ==-⋅，∴2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅，2312[1222(1)22]n n n S n n +=-⨯+⨯++-⋅+⋅， 两式相减，得2311122222222.n n n n n S n n +++=++++-⋅=--⋅1262n n S n +∴+⋅>即12262n +->，即162642n +>=16n ∴+> 16n ∴+> 从而5n > 故正整数n 的最小值为6.∴使1262n n S n +∴+⋅>成立的正整数n 的最小值为6. …………………12分20. 解：(Ⅰ) 由90,B D E ∠=、两点分别是线段AB AC 、的中点，得//,DE BC DE AD DE BD ⇒⊥⊥，ADB ∴∠为二面角A DE B --平面角，2ADB π∠=。
,,AD BCD BE BCD AD BE ∴⊥⊂∴⊥面又面又1,1,,2BD BC BD DE BC BDE DBC DE BD====∴∆∆即 ,EBD DCB BE DC ∴∠=∠∴⊥ ,BE ADC ∴⊥面,BE ABE ABE ADC ⊂∴⊥又面面面 ……………7分 (Ⅱ) 连结BE 交CD 于H ，连结AH 过点D 作DO AH ⊥于O 。
,AD BE BE DH BE ADH ⊥⊥∴⊥面,DO ADH BE DO ⊂∴⊥面，,DO AH DO ⊥∴⊥又面ABE所以DAO ∠为AD 与平面ABE 所成角。
Rt BDE ∆中，12BD DE BD DE DH BE ⋅=∴==A CDE HORt ADH ∆中，tan DH DAO DA ∠==所以直线AD 与平面ABE。
……………13分21. 解：(Ⅰ) 由题意1ln (),(0)x k f x x x +==> ，所以21ln ln ()(),(0)x xf x x x x''+==-> 当01x <<时，()0;f x '> 当1x >时，()0;f x '< ()f x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. 故()f x 在1x =处取得极大值.()f x 函数在区间1(,)(0)2m m m +>上存在极值01112m m <<⎧⎪∴⎨+>⎪⎩ 得112m <<， 即实数m 的取值范围是112m <<. …………7分 (Ⅱ) 由题意 ()1t f x x ≥+得(1)(1ln )x x t x ++≤， 令(1)(1ln )(),(1)x x g x x x ++=≥ , 则 2ln (),(1)x xg x x x'-=≥， 令()ln ,(1)h x x x x =-≥,则11()1x h x x x'-=-=1x ≥ ()0h x '∴≥ 故()h x 在[1,)+∞上单调递增，()(1)10h x h ∴≥=> 从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上单调递增， ()(1)20g x g ∴≥=>∴实数t 的取值范围是(,2]-∞. …………. …………14分22. 解：(Ⅰ) 显然F 是椭圆的右焦点，设(c,0)F由题意2AF K c ==c ∴=又离心率c a = 2a ∴=，1b ∴== 故椭圆E 的方程为2214x y += …………. …………5分(Ⅱ) 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ,方程为2y kx =-联立直线与椭圆方程： 22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得：22(14k )16120x kx +-+= 22316(4k 3)0,k 4∆=->∴>设1122(,),(,)P x y Q x y ，则 1212221612,1414k x x xx k k+==++ 212443k PQ x -∴-坐标原点O 到直线l 的距离为d =22211443441221OPQk k S l d k k ∆-∴==+=+令 (0)t t =>，则 24444OPQ t S t t t∆==++44t t +≥ （当且仅当4t t= 即2t =时等号成立）1OPQ S ∆∴≤ 故当 2t =即2=，2k =±时O P Q ∆的面积最大 从而直线l 的方程为 22y x =±- .…………. …………14分。