高三理科数学起点考试试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知n 为等差数列 ,0,2,4--中的第8项，则二项式nxx )2(2+展开式中常数项是（ ）A ． 第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项 2．设),(~p n B ξ，3=ξE ，49=ξD ，则n 与p 的值为（ ）A ．41,12==p n B ．43,12==p n C ．41,24==p n D ．43,24==p n 3．下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是 （ ）4．下列函数在x ＝0处连续的是 （ ）A ．f （x ）＝⎩⎨⎧>-≤-.0,1,0,1x x x B ．f （x ） ＝lnxC ．f （x ）＝xx || D ．f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>-.0,1,0,0,0,1x x x5．已知函数ba b f a f x f x f x11,4)()()(2)(111+=+=---则满足的反函数的最小值为（ ）A ．1B ．31 C ．21 D ．41 6．ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a +=)sin sin ,3(A B c a n -+=，若n m //，则角B 的大小为 （ ）A ．6π B ．65π C ．3π D ．32π 7．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，而被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率等于 （ ）A ．5B ．25 C ．3 D ． 28．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有（ ） A ．36条 B ．30条 C ．21条 D ．18条9．记满足下列条件的函数f （x ）的集合为M:当|x 1|≤1,|x 2|≤1时, |f （x 1）－f （x 2）|≤4|x 1－x 2|．若有函数g（x ）＝x 2＋2x －1, 则g （x ）与M 的关系是（ ）A ．g （x ）⊂MB ．g （x ）∈MC ．g （x ）∉MD ．不能确定10．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,),(z b a ∈值域是[0，1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有 （ ） A ．2个 B ．5个 C ．6个 D ．无数个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置上） 11．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是 。

12．已知随机变量)4,3(~N ξ，若ξ=2η+3，则D η=____________.13．已知,,R y x ∈且满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+756y x y x ，则22y x +的最大值是 .14．设10321221010++3+2+++++=+1a a a a ,x a x a x a a )x (nn n 则= .15． 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离。

在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：n mx x y ++=2002(m ,n 是常数)，如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图. （I ）y 关于x 的函数表达式为：___________ （II ）如果要求刹车距离不超过25.2米，则行驶的最大速度为：__________三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数.sin 3cos ]sin )3sin(2[)(2x x x x x f -++=π（I ）若函数)(x f y =的图象关于直线)0(>=a a x 对称，求a 的最小值； （II ）若存在02)(],125,0[00=-∈x mf x 使π成立，求实数m 的取值范围.17．（本小题满分12分）如图在直三棱柱ABC – A 1B 1C 1中，∠BAC = 90°，AB = AC = a ，AA 1 = 2a ，D 为BC 的中点，E 为CC 1上的点，且CE =41CC 1 （I ）求三棱锥B – AB 1D 的体积； （II ）求证：BE ⊥平面ADB 1；（Ⅲ）求二面角B —AB 1—D 的大小.18．（本小题满分12分）口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球。

求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的分布列及数学期望；19．（本小题满分12分）已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角。

（II ）试证明直线PQ 恒过一个定点。

20．（本小题满分13分）设函数.)2()(2xe k kx x xf -+-= （I ）k 为何值时，f (x )在R 上是减函数；（II ）试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0. 21．（本小题满分14分）已知函数21)1()()(=-+∈x f x f R x x f 都有对任意 （1）求*))(1()1()21(N n nn f nf f ∈-+和的值； （2）数列{a n }满足*)(),1()1()2()1()0(N n f nn f n f n f f a n ∈+-++++= 数列{a n }是等差数列吗？请给予证明； （3）2212221,1632,144n n n n n b b b b T nS a b ++++=-=-= ，试比较T n 与S n 的大小.数学答案（理科）一、选择题： CABAC BDCBB 二、填空题： 11．18925612．1 13.74 14．5120 15．（I ）)0(1002002≥+=x xx y （II ）70千米/时 三、解答题16．解：（I ）).32sin(22cos 32sin )(π+=+=x x x x f …………………………（4分）由题设，).(122,232Z k k a k a ∈+=+=+πππππ即.12,0,0min π==>a k a 时则当 ………………………………………………（6分）（II ）当].1,21[)32sin(],67,3[32,]125,0[000-∈+∈+∈ππππx x x x 时 ].2,1[)(0-∈∴x f …………………………………………………………………（9分）由.12,221.2)(,02)(00≥-≤≤≤-∴==-m m mm x f x mf 或即得故m 的取值范围是).,1[]2,(+∞⋃--∞…………………………………………（12分）17.解：（Ⅰ）∵AB=AC=a ，∠BAC=90°，D 为BC 中点B 1B=C 1C=A 1A=2a ，2411a CC CE ==∴241)21(2121a AC AB S S ABC ABD =⋅==∆∆ ………………2分∵32161241313111a a a BB S V V ABD ABD B D AB B =⋅⋅=⋅⋅==∆-- …………4分解法一：（Ⅱ）由AB=AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC 从而AD ⊥平面B 1BCC 1又BE ⊂平面B 1BCC 1，所在AD ⊥BE …………6分 由已知∠BAC=90°，AB=AC=a ，得a BC 2=在Rt △BB 1D 中，4221tan 111===∠BB BCBB BD D BB 在Rt △CBE 中，4222tan ===∠aa BC CE CBE 于是∠BB 1D=∠CBE ，设EB ∩DB 1=G∠BB 1D+∠B 1BG=∠CBE+∠B 1BG=90°，则DB 1⊥BE ，又AD ∩DB 1=D 故BE ⊥平面ADB 1 ……………………8分 （Ⅲ）过点G 作GF ⊥AB 1于F ，连接BF由（Ⅰ）及三垂线定理可知∠BFG 是二面角B —AB 1—D 的平面角 …………10分 在Rt △ABB 1中，由BF ·AB 1=BB 1·AB ，得a BF 552= 在Rt △BDB 1中，由BB 1·BD=BG ·DB 1，得BG=a 32 所以在Rt △BFG 中，35sin ==∠BF BG BFG 故二面角B —AB —D 的大小为arcsin 35………………12分 解法二：解法：（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A －xyz …………2分 可知A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，a ，0），D （0,2,2aa ）， B 1（a ，0，2a ），E （0，a ，2a） …………4分 可得 ),0,2,2(),2,,(aa a a a =-=)2,2,2(1a aa DB = ………………6分于是得0,01=⋅=⋅DB ，可知BE ⊥AD ，BE ⊥DB 1又AD ∩DB 1=D ，故BE ⊥平面ADB 1 …………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ADB 1的法向量)2,,(a a a -=，平面ABB 1的法向量)0,,0(a =于是 32,cos =>=< …………10分 故二面角B —AB 1—D 的大小为arccos32………………12分 18．解：记“甲摸球一次摸出红球”为事件A ，“乙摸球一次摸出红球”为事件B ，则 32)()(,31844)()(===+==B P A P B P A P ，且A 、B 相互独立.………………（2分）据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，其中.271)31()()3(.27232)31()()2(.2710)32(3231)()()1(.2714)32(3132)()()0(3223==⋅⋅===⨯=⋅⋅===+⨯=⋅⋅+⋅===+⨯=⋅⋅+⋅==A A A P P A A A P P A B A P A A P P A B A P B A P P ξξξξ………………（8分）………………（10分）)12(.2717271327222710127140分 ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE 19．解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线，,4,14,4414,2121211222121211=∴+=+--=+=∴y y y y y y y y y y y y k k DM AM 即即……（2分）.544212221=+⋅=⋅∴y y y y OM ……………………………………………（4分）设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM.5sin ||||,25=⋅⋅∴=∆αS ROM 由此可得tan α=1.…………………（6分）又.45,45),,0(︒︒=∴∈与故向量απα……………………（7分）（II ）设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴)8(.04,4))(1(,141,441431312331331233232131233分即即即=+++-=++∴+=-+--=+y y y y y y y y y y y y y y y y y y,0444,4,432322121=+++⋅∴==y y y y y y y y 即即.(*)04)(43232=+++y y y y ……………………………………（9分）)4(4,4442232232232232y x y y y y PQ y y y y y y k PQ-+=-∴+=--=的方程是直线 即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即……………………（10分）由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.…………………………………………（12分）20.解：（Ⅰ）∵xe k kx x xf -⋅+-=)2()(2∴x xe k kx x e k x xf --⋅-⋅+-+-=')1()2()4()(2x e x kx -⋅-⋅--=)2()2(2 ………………2分 当k=4时，0)2()(≤⋅--='-xe x x f∴当k=4时，R x f 在)(上是减函数………………5分 （Ⅱ）当k ≠4时，令2,20)(21kx x x f ==='，得………………6分 当k<4时，即22<k有令,02)2(2,0)2(2=+⋅-⋅=k k k k k f 得 ∴k=0………………9分②当k>4时，即k>2有 令0242 0)2(=+-⨯=k k f 得∴当k=0或k=8时，)(x f 有极小值0 ………………13分21．（1）解：f (x )对任意21)1()(=-+∈x f x f R x 都有 41)21(21)211()21(21=∴=-+=f f f x 时有………………2分令21)11()1(*)(1=-+∈=n f n f N n n x 时有21)1()1(=-+∴n n f n f ……………………………………4分（2）解：数列{a n }是等差数列f (x )对任意x ∈R 都有,21)1()(=-+x f x f 则令21)()(=-+=n k n f n k f n k x 时有……………………………………6分 *)(414141)1(*)(41*)(212)]0()1([)]1()1([)]1()1([)]1()0([2)0()1()2()1()1()1()1()2()1()0(1N n n n a a N n n a N n n a f f n f n n f n n f n f f f a f nf n n f n n f f a f n n f n f n f f a n n n n n n n ∈=+-++=-∴∈+=∴∈+=∴+++-++-+++=∴+++-+-+=∴+-++++=+ ∴{a n }是等差数列. ………………10分（3）解：由（2）有*)(4144N n na b n n ∈=-=nnn S nn n n n n nn b b b b T =-=-=--++-+-+=-++⨯+⨯+≤++++=++++=++++=1632)12(1611131212111(16))1(13212111(16)1312111(1643424142222222222222212221∴T n ≤S n …………………………………………………………………………14分 该题也可用数学归纳法做。