证券问题数学建模
问题：
某银行经理计划用一笔资金进行有价证劵的投资，可供购进的证劵以及其信用等级，到期年限，收益如表所示。按照规定，市政证劵的收益可以免税，其他证劵的收益需按50％的税率纳税。除外还有以下限制：
（1）政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元。
（2）所购证劵的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 5
Variable ValueReduced Cost
X12.400000 0.000000
X20.0000000.3181818E-02
X38.100000 0.000000
X40.0000000.6363636E-03
（3）所购证劵的平均到期年限步超过5年。

A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
(1)若该经理有1000万元资金，应如何投资？
(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理该如何操作？
(3)在1000万元资金情况下，若证劵A的税前收益增加为4.5%。投资应否改变？若证劵C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
CREDIT 0.0105.7143 20.00000
TIME 0.010.00000 12.00000
最优解为x1=2.182,x2=0,x3=7.364,x4=0.454,x5=0;最优值为Z=0.298;
即证劵A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。
即x2+ x3+ x4 4
3.信用等级：所购证劵的平均信用等级都不超过1.4，即
4.到期年限：所购证劵的平均到期年限步超过5年，即
5.非负约束x1 x2 x3 x4 x5
为输入方便，将（3）（4）化简可得到该问题的基本模型
Max Z=0.043 x1+0.054 x2+0.025 x3+0.022 x4+0.045 x5(1)
X40.0000000.6363636E-03
X50.4545455 0.000000
RowSlack or SurplusDual Price
10.2983636 1.000000
MONEY0.0000000.2983636E-01
MUST3.3636360.000000
CREDIT0.0000000.6181818E-03
目标函数：设总到期税后收益为Z万元，则由给出收益率可算出
Z=0.043 x1+0.054 x2+0.025 x3+0.022 x4+0.045 x5
约束条件：1.资金总额：所用投资金额不超过1000万元。
即x1+ x2+ x3+ x4+x5 10
2.必购证劵政府及代办机构的证劵总共至少购进400万元
X10.4300000E-010.3500000E-02 0.1300000E-01
X2 0.2700000E-010.3018182E-01 INFINITY
X3 0.2500000E-010.1733333E-01 0.5600000E-03
X4 0.2200000E-010.6363636E-03 INFINITY
X5 0.4500000E-010.5200000E-01 0.1400000E-01
Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHSIncrease Decrease
MONEY 10.00000 INFINITY 4.567901
MUST4.000000 3.363636 INFINITY
X50.5000000 0.000000
RowSlack or Surplus Dual Price
[money]x1+ x2+ x3+ x4+x5 10;
[must]x2+ x3+ x4 4;
[credit]6*x1+ 6*x2-4*x3-4*x4+36*x5 0;
[time]4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5 0 ;
end
得到如下输出:
Global optimal solution found.
TIME0.0000000.2363636E-02
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
x1+x2+ x3+ x4+x5 10(2)
x2+ x3+ x4 4(3)
6x1+ 6x2-4x3-4x4+36x5 10(4)
4x1+10 x2- x3-2x4-3x5 10(5)
x1 x2 x3 x4 x5
模型求解：用LINGO软件求解
输入：
model:
max=0.043 *x1+0.027* x2+0.025* x3+0.022* x4+0.045* x5;
Objective value: 0.2983636
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations:5
Variable ValueReduced Cost
X12.181818 0.000000
X20.0000000.3181818E-02
X37.363636 0.000000
结果分析：
（1）由于输出结果中的影子价格可知资金每增加100万元，多获收益0.0298百万元。收差率为2.98%大于2.75%所以应进行投资，在上面约束条件的（2）右端约束改为小于11，lingo求解结果如下：
Global optimal solution found.
Objective value: 0.3282000
问题分析：这个投资方案的目标是使获取的税后收益最大化，要做好决策应是用多少钱购买多少不同的证劵。此决策共受到四个条件的限制，资金总额必购证劵，信用等级，到期年限。按照题目将决策变量，目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来得到如下模型。
基本模型：
决策变量：设用x1万元购买A证劵，用x2万元购买B证劵，用x3万元购买C证劵，用x4万元购买D证劵，用x5万元购买E证劵。