数学模型姜启源答案【篇一：姜启源课后习题】xt>第1章建立数学模型1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人过河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。

（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。

问人、狗、鸡、米怎样过河？1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。

问怎样过河？1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？1.6 某城市的logistic模型为dn11dt?25n?25?106n2，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。

设该市1990年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。

当t??时发生什么情况。

1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻t的人口为x(t)，最大允许人口为xm，t到t??t时间内人口数量与xm?x(t)成正比。

试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。

1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。

水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。

如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？第2章初等模型2.1 学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。

学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.（2）2.1节中的q值方法.（3）d’hondt方法：将各宿舍的人数用正整数n?1,2,3,?相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中a，b，c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额. 2.2 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象.（1）分析商品的价格c与商品重量w的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

(2)给出单位重量价格c与w的关系。

画出它的简图，说明w越大c 越小，但是随着w的增加c减小的程度变小。

解释实际意义是什么。

2.3 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。

2.4用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽可能多的圆盘。

2.5雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。

2.6生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。

2.7 举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。

下面是一界奥运会竞赛的成绩，可供检验你的模型。

2.8 速度为v的风吹在迎风面积s为的风车上，空气密度是?。

用量纲分析方法确定风车获得的功率p与v，s，?的关系。

2.9 雨速的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。

用量纲分析方法给出速度v的表达式。

2.10 原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。

据分析在时刻t冲击波达到的半径r与释放能量e，大气密度?，大气压强p有关（设t?0时r?0）。

用量纲分析方法证明，r?????et2?????????p5t6??e2?3???，?是未定函数。

2.11 用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量。

记水的流速v，密度?，比热c，粘性系数?，热传导系数k，人体尺寸d。

证明人体与水的热交换系数h与上述各物理量的关系可表为h?k?v?d?c?d?????,k???，?是未定函数，h定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为1?c时的热量交换。

2.12 在小说《格里佛游记》中,小说国中的人们决定给格里佛相当与一个小人食量1728倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小人的12倍.他的体格是小人的123?1728倍.所以他需要的食物是一个小人的食量的1728倍.为什么他们的推理是错误的?正确的答案是什么?2.13 战后olympic运动会女子铅球记录如下:你是否可以从这些数据中预测2000年的奥运会女子铅球的最佳成绩.第3章简单的优化模型3.1 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。

重新确定最优订货周期和订货批量。

证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。

而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。

3.2 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。

设生产速率为常数k，销售速率为常数r，k?r在每个生产周期t内，开始的一段时间(0?t?t0)一边生产一边销售，后来的一段时间(t0?t?t)只销售不生产，画出贮存量q(t)的图形。

设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。

讨论k??r和k?r的情况。

3.3 在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。

3.4 在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变。

试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a?1.5m（颈部以下），宽b?0.5m，厚c?0.2m，设跑步距离d?1000m，跑步最大速度vm?5m/s，雨速u?4m/s，降雨量w?2cm/h，记跑步速度为v。

按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为?，如图1，建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。

计算??0?，??30?时的总淋雨量。

（3）雨从背后吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为?，如图2。

建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。

计算??30?时总淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对(3)作图（考虑?的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。

图1图23.5 甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是x和y。

设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占的份额，是它们的广告费在总广告中所占份的函数f(xx?y)和f(yx?y)。

又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费即为公司的利润。

试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。

（1）令t?xx?y，则f(t)?f(1?t)?1。

画出f(t)的示意图。

（2）写出甲公司利润的表达式p(x)。

对于一定的y，使p(x)最大的x的最优值应满足什么关系。

用图解法确定这个最优值。

3.6 人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。

试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。

（1）设腿长l，步长s，证明人体重心在行走时升高??s2l(s?l)（2）将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动。

设腿的质量m，行走速度v，证明单位时间所需动能为mv2s。

（3）设人体质量m，证明在速度v一定时每秒行走 n?3mgm4ml步作功最小。

m?4,l?1m分析这个结果合理吗。

（4）将（2）的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。

证明结果应为n?mg4ml步。

分析这个结果合理。

3.7 驶于河中的渡轮，它的行驶方向要受水流的影响。

船在河的位置不同，所受到水流的影响也不同。

试设计一条使渡轮到达对岸时间最短的航线。

3.8 发电站的设计者们在堰坝上安装水轮机，当潮水通过堰坝时，推动水轮机运转，从而带动发电机发电。

潮水通过水轮机3.9 别为p，q室（如图所示）少应宽多少？3.10 程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。

（1）设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k倍，写出这些力。

（2）证明当鱼要从a点到达处于同一水平线上的b点时（见下图），沿折线acb运动消耗的能量与沿水平线ab运动消耗的能量之比为（向下滑行不消耗能量）ksin??sin?ksin(???)。

（3）根据实际观察 c tan??0.2，试对不同的k值（1.5，2，3），根据消耗能量最小的准则估计最佳的?值。

b【篇二：2011数学建模a题参考答案】ss=txt>摘要随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

通过对城市土壤重金属的调查，应用数学方法对数据进行处理。

得到城市环境质量的演变，已是人们日益关注的焦点。

对于问题一，用附件一中给出的数据，用matlab插值法建立三维模型，总共有9个图，一个是取样地点的地形图，另外八个是八种重金属元素的浓度分布图，通过模型图我们可以清楚的看到各种元素不同的空间分布。

然后通过均值法，算出不同区域内各种重金属元素的污染程度。