一题多解与一题多变-----培养学生能力的捷径江苏省东台中学 张曙东 （《物理教学》1996.11）高考把对学生能力的考核放在首要位置，体现了对学生能力的重视。
目前正处在世纪之交、知识爆炸的时期，知识日新月异，今天书本上学和知识，明天可能已被更新，面对未来人类的生存和发展，靠的下是现知识，而对未来人的能力，这样才能去下断发现、不断创造。
而对学生的能力培养途径很多，“一题多解”可谓培养学生能力的捷径。
通过“一题多解”和“一题多变”可帮助学生对所学知识全面系统地回顾、再现、应用，多角度去分析问题、解决问题，通过“一题多变”可由浅入深，下同层次地挖掘、全方位地去分析问题、解决问题。
这对学生的理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学工具处理物理问题的能力得到全面提高，这样可起到举一反三、纲举目张、事倍功半的效果。
以下略举两例敬请同行斧正。
[例1].A 、B 两木块靠在一起放在水平面上，它们与水平面的滑动摩擦系数为0.25，B 的质量为0.2千克，一颗水平飞来的子弹依次穿过A 、B ，在子弹穿 过A 的过程中A 和B 一直没有分离，子弹在B 内的时间t 为0.01秒，穿出B 后，A 和B 都继续向前运动，当A 刚停止时，B和A 之间的距离S 为1米，B 的速v 为5米/秒，子弹在两木块中阻力恒为f ，重力加速度g 取10米/秒2，求;（1）f 的大小，（2）在子弹进入B 的过程中，木块B 前进的距离S X[剖析] 本题由于地面有摩擦力，故相互作用力的系统动量不守恒，不能由动量守恒定律、能量守恒定律列方程求解，必须另辟蹊径。
[分析和解]（1）方法一：运用牛顿定律结合运动学公式设子弹刚穿进B 时，A 、B 物体具有共同速度vA 刚穿出B 时B 物的速度为VB ，B 的质量为子弹在B 中穿行时（如图2所示），B 的加速度g mfm mg f a μμ-=-=；则t g mfv at v v A A A )(μ-+=+= （1）g v t A AA μ=物体滑行时间方法二：运用动量定理对B 全过程由动量定理得：)(A A A v v m gt m t f -=-⋅μ （1） 对A 由动能定理有：)(:)1()2(,计算过程略式得式代入将则有即tmvf mv t mg v t g v m t g m AA AA A A A A ==⋅=⋅=⋅μμμ （2）（2）方法一：运用牛顿定律结合运动学公式 B 的总位移)(22t gv v v t v v s AB B A B -+++=μ A 滑行的总位gv s Aμ22= 由位移关系s Ｂ－s Ａ=s 得：s gv t g v v v t v v AA B B A =--+++μμ2)(222将t mmgf v v A B μ-+=代入上式，可解得：v mft g vts v A +⋅+=μ2)2( 由（１）问的结论tmvf =得：ft=mv 代入上式，化简得： .10001.052.0:)2)(1()2()(N N t m v f t g vg v gt v v t gv t t t B B B B AA A =⨯==----------=-=∴-=-=解得联立物体滑行时间则μμμμ)21(21gt v gsgt ft mgs v μμμμ+=+=)21(21)(21222fmvf mgs t m f f mgs tg m f t v s A X +=+=+=∴μμμ代入已知量有：)(03.001.02.0100211001102.025.02m s X =⨯+⨯⨯⨯=此法思考简单，但运算量较大．方法二：由动能定理求解由动能定理，对Ｂ的全过程有：)(21)(22A A A v v m s s mg s f -=+-⋅μ 对Ａ：221A A A A v m s g m =⋅μ变形有221A A v m s g m =⋅μ代入上式，化简有： f mv mgs s X 221+=μ (计算略)方法三：图象法图3 中阴影区域的面积表示A 停止时，A 、B 之间的距离s,由图3可知：v v =∆ t v t v s ⋅=⋅∆=21211 、)(2t gv v s A -⋅=μ， 由s 1 +s 2 =s 得：s t gv v vt A =-+)(21μ 解得：gt v gsv A μμ21+=2)(21t g mfv s A X μ-+=∴（同方法一，略） 方法四：运用相对运动子弹在B 中穿行时，B 相对于A 做初速度为的匀加速直线运动，加速度m f g g m f a =+-=μμ，则子弹刚穿出B 时，A 、B 之间的距离2212121t mf at s ==； 子弹穿出B 后，A 、B 的加速度相同故B 相对A 做匀速运动，速度为v=5m/s ，则从子弹穿出B 后A 静止的过程中，A 、B 间增大的距离)(2t gv v s A-⋅=μ，由s 1+s 2=s 得：s t gv v t m fA =-+)(21μ 由（1）问的结论tmvf =，代入上式有： gt vgsv A μμ21+=（与方法三相同，以下略） 方法五：由能量守恒求解B 相对A 而言，多发生的位移克服阻力做的功和最终的动能，应等于子弹对木块B 的作用力在位移s X 上所做的功，有： 221mv mgs s f X +=⋅μ fmv mgs s X 221+=∴μ（与方法二相同，以下略）例1中的多种解法，几乎涉及了力学的全部基础知识和常见的多种解题方法，多角度思考发散式思维是培养学生能力的重要途径。
[例2] 在两平行金属板（假定板足够长）之间，用一长为l 的轻绳拴着一质量为m 的带电量为q 的小球，小球可看作质点，如果小球在两极板间平衡时，轻绳与铅直线间的夹角为θ，如图4所示，求两极板间的电场强度。
[分析和解]小球受重力mg ，电场为Eq ，绳的拉力，由于小球处于平衡状态，故重力与电场力的合力必沿绳的方向有：m g Eq tg =θ ∴场强θtg qm gE =[变1] 如将小球拉至水平，且绳被拉直，如图5所示，由静止放手后，小球将作什么运动？经多长时间，轻绳子刚好被拉直？[分析和解] 小球由静止放手时，球仅受重力、电场力，不受绳的拉力，此二力为恒力其合力亦为恒力，故小球将沿与竖直方向成θ（合力方向）做匀加速直线运动。
设小球从A 点释放到B 点绳被拉直，如图5所示，由数学知识可知∠AOB=2θ，则小球在竖直方向下落的高度h=Lsin2θ, 由于小球在竖直方向做自由落体，故由分运动和合运动的等时性可知：所求时间gL t θ2sin 2=[变2]如果要让小球从静止释放时，刚好能立刻做圆周运动，那么应将小球从何处释放？ [分析和解] 当小球刚静止释放时，若小球所受合力垂直，此时绳处于竖直状态，小球运动后绳对球立刻施加力的作用，故小球立刻做圆周运动。
如图6所示，有α=θ，即将小球拉到与水平方向成θ角静止释放。
[变3]若把小球拉至水平位置，部小球的初速至少是多大时，小球放手后也能立刻做圆周运动？[分析和解]当小球处在水平位置时，若电场力刚好提供向心力，就能保证小球从开始就立刻做圆周运动。
则有：Eq=Lv m 2，结合例2的结论：Eq=mgtg θ可解得：v=θgLtg ,故小球的初速度至少为θgLtg 。
[变4] 在例2中，若线拉紧后随即摆动，求：（1）拉紧瞬间悬点O 受到的冲量I ， （2）小球摆动过程中的最大速度v m ,(3)小球摆到最低点时，轻绳受到的拉力T 。
[分析和解] （在例2的基础上求解）（1）设线刚被拉紧的瞬间速度大小为v ，小球所受的合外力F 合=θcos mg…..（1）小球运动的位移S=AB=2Lsin θ。
…..(2) 由动量定理得：F 合.S=221mv …..(3) 联立（1）、（2）、（3）解得：θgLtg v 2=绳刚绷紧随即做圆周运动，即小球沿绳方向的分速度v n =减为0，绳对球的冲量I 由动量定理得：I=m v n =mvsin θ=2m θgLtg sin θ.由牛顿第三定律可知：O 点受到的冲量大小I '=I=2m θgLtg sin θ.方向沿绳向下（2）球在平衡位置速度最大 球在B 点绳绷紧的过程中损失的动能△Ek=221n mv =2mgLtg θsin…..(4) 球从A 到平衡位置的过程中,由动能定理得: EqL(1+sin)+mgLcos θ-△Ek=221m mv …(5) 联立）4）、（5）两式，结合Eq=mgtg θ解得：)sin .2cos 1(22θθθθtg tg gL v m -+= )2c o s .1(2θθtg gL v +=' （3） 球从A 到最低点的过程中，由动能定理得：)2cos 1(2θθtg gL v +='…….(7) 球在最低点由牛顿第二定律得：T-mg=Lv m 2'…..(8) 联立（7）、（8）两式，解得：球在最低点绳受到的拉力T=mg(3+2tg. θcos2θ)[变5] 若将小球拉至水平，至少以多大的速度下抛，小球才能在竖直平面内做圆周运动？[分析和解]小球能否做圆周运动，取决于球在“最高点”是否符合做圆周运动的条件，由于同时存在电场和重力场，故“最高点”已不是竖直方向的最高点，而是平衡位置的对称点D ，如图8所示。
在D 点，球刚好做圆周运动条件：Lv m mg 2cos =θ….(1) 由A 到D 运用动能定理有：222121)sin 1(cos D m mv L mg -=-θθ…..(2) 联立（1）、（2）两式，解得：v=θθcos )sin 23(-gL∴小球至少以v=θθcos )sin 23(-gL 的速度下抛。
在例2中，通过适当变换条件，，由浅入深引出了一系列的讨论，拓宽了学生的视野，同时也为学生出题提供了范例，这个全方位地去探索问题是培养学生的有效途径。
如教者通过精心选例题、并布置相应习题，激发学生的求异、求变的热情，将“一题多解” 和“一题多变” 在讲和练上有机地结合起来，将“珠连璧合、相得益彰”。
笔者在教学中加以应用，对培养学生的能力，确实起到了事半功倍的效果，不失为一条捷径。