C
B
A
S 2
S 3
S 1
C
B
A
S 3
S 2
S 1
S 3
S 2S 1
C
B
A
一题多解、一题多变
原题条件或结论的变化
所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。
通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。
例1 求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
变式1 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。
变式2 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。
变式3 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。
变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？ 变式5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？ 变式6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？ ……
通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。
一、几何图形形状的变化
如图1，分别以Rt ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为321S S S 、、，则
321S S S 、、之间的关系是
图1 图2 图3
E S 3
S 2
S 1
D
C
B
A
S 3S 2
S 1
A
B
C
D
A
B
C
D S 3S 2
S 1
变式1：如图2，如果以Rt ∆ABC 的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是
变式2：如图3，如果以Rt ∆ABC 的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为
321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是
变式3：如果以Rt ∆ABC 的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为321S S S 、、，为使321S S S 、、之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。
,2,90,//,44321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、，其面积分别为为边向梯形外作正方形、、分别以且中，梯形：如图变式=︒=∠+∠之间的关系是
图4 图5 图6
,2,90,//,55321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、形，其面积分别为为边向梯形外作正三角、、分别以
且中，梯形：如图变式=︒=∠+∠之间的关系是
,2,90,//,66321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、，其面积分别为为直径向梯形外作半圆、、分别以且中，梯形：如图变式=︒=∠+∠之间的关系是
上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。
这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。
二、图形内部结构的变化
例2.已知：如图7，点C 为线段AB 上一点，∆ACM 、∆CBN 是等边三角形。
求证：AN=BM
图7 图8
MCB
ACN CB CN AC MC CBN ACM ∠=∠==∴∆∆,,是等边三角形
和证明：
ACN ∆∴≌MCB ∆
BM AN =∴
变式1：在例2中，连接DE ，求证：（1）∆DCE 是等边三角形（2）DE//AB
分析：(1)可证ADC ∆≌MEC ∆，则DC=EC,因为∠DCE=︒60,所以∆DCE 是等边三角形。
(2)由（1）易证∠EDC =∠ACM=︒60,所以DE//AB 变式2：例2中，连接CF ，求证：CF 平分∠AFB
分析：过点C 作C G ⊥AN 于G,CH ⊥BM 于H,由ACN ∆≌MCB ∆，可得到CG=CH,
所以CF 平分∠AFB
变式3：如图8，点C 为线段AB 上一点，∆ACM 、∆CBN 是等边三角形，P 是AN 的中点，Q 是BM 的中点，求证：CPQ ∆是等边三角形 证明：ACN ∆ ≌MCB ∆
BM AN =∴,ANC ABM ∠=∠
的中点、分别是、又BM AN Q P
BCQ ∆∴≌P N C ∆
是等边三角形
CPQ 60NCB NCQ BCQ NCQ NCP PCQ NCP
BCQ CP,CQ ∆∴︒=∠=∠+∠=∠+∠=∠∴∠=∠=∴
图7是一个很常见的图形，其中蕴含着很多的关系式，此题还可
适当引导学生探索当点C 不在线段AB 上时所产生的图形中的一些结论，通过该题的变式训练，让学生利用自己已有的知识去探索、猜想，进而培养了学生思维的创造性。
三、因某一基本问题迁移的变化
例4如图9，要在燃气管道L 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，问泵站修在什么地方使所用的输气管线最短？ 图9
分析：设泵站应建在P 处。
取点B 关于L 的对称点B ’,如图1，PB ’=PB,要使PA+PB 最小只要PB ’+PA 最小，而两点之间距离最短，连接AB ’与L 的交点P 即是泵站所建的位置。
本题特点：一直线同旁有两定点，关键要在直线上确定动点的位置，使动点到定 点的距离之和最短，我们常常把这类问题称作“泵站问题”。
变式1：如图2，在∆ABC 中，AC=BC=2,∠ACB=︒90,D 是BC 的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是
图2
解：C 、D 是两定点，E 是在直线AB 上移动的一动点，以CA 、CB 为边作正方形ACBF ，则C 关于AB 的对称点一定是F,连接DF 交AB 于E,这时EC+ED 最小。
因为D 是BC 的中点，在直角三角形FBD 中， P
L
B'
B
A
F
E
D
C
B
A
5122222=+=+==+=+BF BD DF EF ED ED EC .
变式2：如图3，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上一动点，M 、N 分别是AB 、BC 边上的中点，则PM+PN 的最小值
分析：M 、N 是两定点，P 是在直线AC 上移动的一动点，作N 关于AC 的对称点G ，由于四边形ABCD 是菱形，所以G 一定在DC 上，且为DC 的中点，连接MG 交AC 于P,四边形AMGD 为平行四边形，连接PM 、PN ，则PM+PN 最小，PM+PN=PM+PG=MG=BC=1
变式3：如图，梯形ABCD 中，AD//BC,AB=CD=AD=1, ∠B=︒60,直
线MN 为梯形的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC+PD 的最小值为
解:C 、D 是两定点，P 是直线MN 上一动点，因为图形ABCD 中，
AD//BC,AB=CD=AD=1,所以四边形ABCD 为等腰梯形，而直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，则D 关于MN 的对称点是A 点，连接AC 交MN 于点P,
连接PD,则有PA=PD,要使PC+PD 的值最小，就要使PA+PC 最小，所以PC+PD=PA+PC=AC,因为∠B=︒60，可证得AB C ∆为直角三角形，AC=ABtan ∠B=1⨯tan ︒60=3,则PC+PD 的最小值为3.
变式4：如图，已知⊙O 的半径为r , C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，弧 AC 的度数为︒96，弧 BD 的度数为︒36,动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为
解：如图，设D ’是D 关于直径AB 的对称点，连接CD ’交AB 于P ，则P 点使CP+PD 最小。
弧CD 的度数为︒=︒-︒-︒483696180，弧CD ’的度数为︒120，
所以∠COD ’=︒120,从而易求CP+PD=CD ’=r 3,所以CP+PD 的最小值为r 3.
本例利用“泵站问题”进行迁移变式，逐步探究了几种常见的图形中两条线段之和最短问题，这样有利于学生解题思想方法的形成、巩固，达到了透彻理解该基本问题的目的。
G
N
M
P
D
C
B A
O
P
D'D C
B
A。