u 直线y=a1x+a2 u 多项式 y=a1xm+…+amx+am+1 (一般m=2,3,不宜过高) u 双曲线（一支） y=a1/x+a2 u 指数曲线 ：拟合前需作变量代换，化为线性函数。 对已知数据，用什么样的曲线拟合最好，可以在直观判断的基础上，选
择几种曲线分别作拟合，然后比较，看那条曲线的最小二乘指标J最小。
线性最小二乘法原理
2.理论______函数rk(x)的选取
对数据(xi，yi)用线性最小二乘法作拟合时，首要的、也是关键的一步是 恰当地选取r1(x)，r2(x)，…，rm(x)。 n 如果通过机理分析，能够知道y与x之间应该有什么样的函数关系， 则r1(x)，…，rm(x)容易确定。 n 若无法知道y与x之间的关系，可以将数据(xi，yi)，i=1,2,…,n作图， 直观地判断应该用什么样的曲线去作拟合。常用的曲线有
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
Log10c(t)=a t + b
半对数坐标系(semilogy)下的图形
数据拟合问题的提法
数据拟合问题：已知一维（二维，…）数据，即平面上的n个点(xi，
yi)，i=1,2,…,n，xi互不相同，寻求一个函数(曲线)y=f(x)，使f(x)在某 种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合的最好，如下图所示(图 中δi为(xi，yi)与y=f(x)的距离)。
i
拟合准则还有如最小一乘准则、极大极小准则等。
线性最小二乘法原理
1. 理论———基本理论之ak的确定 根据最小二乘准则，记 J(a1，a2，…，am)= 为求a1，a2，…，am是 J 达到最小，只需要利用极值的必要条件
得到关于a1，…，am的线性方程组
线性最小二乘法原理
记
，A=(a1，a2，…，am)T，y=(y1，…，yn)T，
选取y=a+bx，此时，r1(x)=1，r2(x)=x。要求y=a+bx与(xi，yi)，
i=0,1,2,3,4，做最小二乘拟合，yi=f(xi)。 列表计算如下：
i
0
1
2
3
4
xi
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
yi=f(xi) 5.10
5.79
6.537.Βιβλιοθήκη 58.46r1(x)
1
1
1
1
1
r2(x)
设 R=at+b a,b为待定系数
引例2：血药浓度的变化规律
对某人用快速静脉注射方式一次性注射某种药物 300mg后，经过时间t采集血样，测得血药浓度c如下表：
t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8 c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
线性最小二乘法原理
3. 求解方法
l 描出数据的图示； l 观察并选择不同的数学函数进行拟合； l 比较多种拟合结果，选择其中较好的一种或者某几种作为备选结果；
注·意：通常需要将非线性函数rk(x)的转化成线性的函数Rk(x)， 然后再用Rk(x)进行拟合，计算中通常需要列下表：
i
0
1
…
n
xi yi=f(xi) R1(x)
r3(x)=x2
1.00
1.5625
2.25
3.0625
4.00
算例
求解法方程组得到 a=3.6294，b=0.5406，c=0.9371，
于是得到该模型下的最小二乘拟合曲线为
i
xi f(xi) Yi=lnf(xi)
0 1.00 5.10 1.629
1 1.25 5.79 1.756
【解】：（1）、先描出数据的图示
2 1.50 6.53 1.876
3 1.75 7.45 2.008
4 2.00 8.46 2.135
算例
（2）选定不同的数学函数（模型）或者rk(x)进行拟合 l 直线模型 y=a+bx
y
(xi，yi)
δi
O
x
数据拟合问题的求解思路
线性最小二乘法是解决数据拟合最常用的方法。
基本思路：
令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)
(1)
其中rk(x)是事先选定的一组函数，ak是待定系数
(k=1,2,…,m，m<n)。
拟合准则是使n个点(xi，yi)，i=1,2,…,n，与y=f(xi)的距离 δ 的平方和最小，称为最小二乘准则。
方程组(3)可表为
RTRA=RTy
(4)
(4)称为法方程组，当{r1(x)，…，rm(x)}线性无关时，R列满秩，RTR可 逆，于是方程组(4)有唯一解
A=(RTR)-1RTy
(5)
可以看出，只要f(x)关于待定系数a1，…，am线性，在最小二乘准则 （2）下得到的方程组(3)关于a1，a2，…，am也一定是线性的，故称线 性最小二乘法。
数模培训数据拟合方法
2020/11/21
数模培训数据拟合方法
教学内容
p 数据拟合问题的提法 p 数据拟合问题的求解思路 p 线性最小二乘法原理 p 算例 p MATLAB 工具箱Curvefit演示
引例1：热敏电阻电阻值的变化规律
已知热敏电阻数据： 温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R() 765 826 873 942 1032 求电阻R随温度t的变化规律。
y=a+bx+cx2与(xi，yi)，i=0,1,2,3,4，做最小二乘拟合，yi=f(xi)。列表计算
如下：
i
0
1
2
3
4
xi
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
Yi=f(xi)
5.10
5.79
6.53
7.45
8.46
r1(x)=1
1
1
1
1
1
r2(x)=x
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
算例
求解法方程组 得到 a=1.6380，b=3.3520， 于是得到该模型下的最小二乘拟合曲线为
g(x)=1.6380+3.3520x。
算例
l 多项式模型 y=a0+a1x+a2x2 选取Y=a+bx+cx2，此时，r1(x)=1，r2(x)=x，r3(x)=x2。要求
x0
x1
…
y0
y1
…
R1(x0)
R1(x1)
…
………………
xn yn R1(xn)
Rm(x)
Rm(x0)
Rm(x1)
…
Rm(xn)
这样就容易确定出法方程组RTRA=RTy。上表中后面的m行即为RT。
算例
【例】给定数据(xi，f(xi))，i=0,1,2,3,4，见下表，使选择适当的模型，
求最小二乘拟合函数g(x)。