x11
x21
x12 x22
x13 x23
x14 x24
x31 x11
x32 x21
x33 x31
x34 8
x12
x22
x32
14
x13
x23
x33
12
x14 x24 x34 14
xij 0, i 1, 2,3;
16 10 22
j 1,2,3,4
10 0
8
②
A3
8
5
14
销量
8
14
①
④
此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：
11
10 ③
6
22 0
8
14
14 0
48
⑤
⑥
x13 10, x14 6, x21 8, x23 2, x32 14, x34 8,
其余（非基）变量全等于零。此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为 6（等 于 m+n-1=3+4-1=6). 总运费为（目标函数值）
B3
B4 产量
产地
4 12 4 11
A1
16
2 10 3 9
A2
10
8 5 11 6
A3
22
销量 8 14 12 14 48 解：一、该运输问题的数学模型为：
34
min z
cij xij 4x11 12x12 4x13 11x14 2x21
i1 j1
10x22 3x23 9x24 8x31 5x32 11x33 6x34
14
产量
16
10
8
2
22 48
B4
产量
11 16
9
10
8
②
6 22
14
48
B4 11 9 6
14
产量
16 6 10
10
8
②
22 48
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产地
销地
A1 A2
A3 销量
B1 4
B2 12
2 8
8
8 ①
10
5 14
14 ④
B3
4 10
3 2
11
10 ③
B4 11 9 6
14
产量
16 6 10
1
②
14
12
14
48
1
3
产地
销地
A1 A2
A3
销量 列差额
B1
B2
B3
B4
产量
行差额
4 2 8
12
4
11
7
12
16 4
12
10
3
9 10 0
6
⑤
2
8
8
5
14
11
6
8
22 0
1
②
14
8
14
12
14
48
2
5
1
3
③
①
④
产地
销地
B1
B2
B3
B4
产量
行差额
4
12
4
11
7
A1
12
4
16 0
12
A2
2
10
3
9 10 0
产地
销地 A1
A2
A3
销量 列差额
B1
B2
B3
B4
产量
行差额
4
12
4
11
16
0
2
10
3
9
10
1
8
5
11
6
22
1
8
14
12
14
48
2
5
1
3
产地
销地 A1
A2
A3
销量 列差额
B1
B2
B3
B4
产量
行差额
4
12
4
11
16
0
2
10
3
9
10
1
8
5
14
8
14
2
5
①
11
6
22 8
1→2
14
12
14
48
1
3
产地
销地 A1
x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34
1 1 1 1
1111
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 712
可以证明：约束矩阵的秩为 r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.
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二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案） 1. 最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
6
⑤
8
2
8
A3
8
5
14
11
6
8
22 0
1
②
14
销量
8
14
12
14 0
48
列差额
2
5
1
3
③
①
④
⑥
此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：x13 = 12, x14 = 4, x21 = 8, x24 = 2, x32 = 14, x34 = 8
其余（非基）变量全等于零。此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为 6（等 于 m+n-1=3+4-1=6)。
A2 A3
销量 列差额
B1
B2
4
12
2
10
8
5
14
8
14
2
5
①
B3
B4
产量
行差额
4
11
16
0
3
9
10
1
11
6
8
22 0
1
②
14
12
14
48
1
3
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产地
销地 A1
A2 A3
销量 列差额
B1
B2
4
12
2
10
8
8
5
14
8
14
2
5
③
①
B3
B4
产量
行差额
4
11
16
0
3
9 10 2
1
8
11
6
8
22 0
2
10
8
8 14 5
8
14
B3 4
10 3
2 11
12
B4 6 11
9 6 8 14
产量 16 10 22 48
σ12 = C12 + C34 - (C14 + C32) = 12 + 6 –( 11 + 5 ) =2
总运费为（目标函数值）：
34
Z cij xij 124 41182 29 14586 244 i1 j1
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三、解的最优性检验 ⒈ 闭回路法（以下的闭回路都是顺时针方向）
看非基变量的检验数是否满足：ij 0.
（1）首先对用最小元素法所确定的初始基本可行解进行检验。参见前面的计算结果，可知 非基变量分别为：x11，x12，x22，x24，x31，x33。
34
Z
cij xij
i1 j1
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104 61182 2314586 246
2. 伏格尔（Vogel)法 伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地 小。或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或 该列）次小运距的方格中。
产地
销地 A1
A2
A3 销量
B1 X11 4
B2 12
B3 10 4
82
10
8
5
14
8
14
3 2
11 12
B4 11
6 9
6 8
14
产量 16 10 22 48
σ11 = C11 + C23 - (C13 + C21) = 4 + 3 –( 4 + 2 ) =1
产地
销地 A1
A2
A3 销量
B1 4
B2 X12 12
产地
销地 A1
A2
A3 销量
B1 4
2 8
8
8 ①
B2 12 10 5
14
B3 4 3 11
12
产地
销地
A1 A2
A3 销量
B1 4
2 8
8
8 ①
B2 12
B3 4
10
3
2
5
11
14
10
产地
销地
A1 A2
A3 销量
B1 4
2 8
8
8 ①
B2 12 10 5
B3
4 10
3 2
11
14
10
③
B4 11 9 6
10
8
②
22 8 14
48
产地
销地
A1 A2
A3
销量
B1 4
B2 12
2 8
8
8 ①
10
5 14