运筹学基础及应用 习题解答习题一 P46 1.1 (a)该问题有无穷多最优解，即满足210664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。

(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。

1.2(a) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000030204180036312A4最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。

(b) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21224321A最优解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛=0,511,0,52。

1.3(a)(1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+8259432121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,1x ，最大值235=z(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ⎩⎨⎧=++=+++++=825943 ..00510 max 4213214321x x x x x x t s x x x x z则43,P P 组成一个基。

令021==x x得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。

5839,58min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ02>σ，2328,1421min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 231,4321====x x x x 。

最大值 235*=z (b)(1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+524262121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,27x ，最大值217=z(2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式1234523124125max 2000515.. 62245z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩21=+x x 2621+x x则3P ，4P ，5P 组成一个基。

令021==x x得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表21σσ>。

245min ,,461θ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭02>σ，1533min ,24,522θ⎛⎫== ⎪⎝⎭新的单纯形表为0,21<σσ，表明已找到问题最优解11x =，2 2x =，3152x =，40x =，50x =。

最大值 *172z = 1.6(a) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令()0,0 ''2'2''2'22≥≥-=x x x x x ，z z x x -=-=' ,3'3该问题转化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-=---+=++-+++-+--=0,,,,,633824124332x ..0023' max 54'3''2'21'3''2'215'3''2'214'3''2'2154'3''2'21x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z其约束系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=003113102114014332A在A 中人为地添加两列单位向量87,P P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------100031130110211400014332 令7654'3''2'210023' max Mx Mx x x x x x x z --++-+--= 得初始单纯形表(b) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令()''''''33333 0,0x x x x x =-≥≥， 'z z =-该问题转化为'''123345'''12334'''12335'''1233'''123345max '3500x 2623316.. 5510,,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =--+-++⎧++--=⎪+--+=⎪⎨++-=⎪⎪≥⎩其约束系数矩阵为121110************A --⎛⎫⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭在A 中人为地添加两列单位向量87,P P121110102133010011550001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭令'''12334567max '3500z x x x x x x Mx Mx =--+-++-- 得初始单纯形表1.7(a)解1：大M 法在上述线性规划问题中分别减去剩余变量468,,,x x x 再加上人工变量579,,,x x x 得123456789max 22000z x x x x Mx x Mx x Mx =-++-+-+-1234513672389123456789622,,20,,,,,,,,0x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪-+-+=⎪⎨--+=⎪⎪≥⎩其中M 是一个任意大的正数。

据此可列出单纯形表由单纯形表计算结果可以看出，40σ>且40(1,2,3)i a i <=，所以该线性规划问题有无界解 解2：两阶段法。

现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量468,,,x x x 再加上人工变量579,,,x x x 得第一阶段的数学模型第一阶段求得的最优解*TX (,,,0,0,0,0,0,0)442=,目标函数的最优值*0ω=。

因人工变量5790x x x ===，所以*T 377(,,,0,0,0,0,0,0)442X =是原线性规划问题的基可行解。

于是可以进行第二阶段运算。

将第一阶段的最终表中的人工变量取消，并填入原问题的目标函数的系数，进行第二阶段的运算，见下表。

由表中计算结果可以看出，40σ>且40(1,2,3)i a i <=，所以原线性规划问题有无界解。

(b)解1：大M 法在上述线性规划问题中分别减去剩余变量468,,,x x x 再加上人工变量579,,,x x x 得1234567min 2300z x x x x x Mx Mx =+++++-123461257123456789428326,,,,,,,,,,0x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+-+=⎪⎨⎪⎪≥⎩其中M 是一个任意大的正数。

据此可列出单纯形表由单纯形表计算结果可以看出，最优解*T (,,0,0,0,0,0)55X =，目标函数的最优解值*4923755z =⨯+⨯=。

X 存在非基变量检验数30σ=，故该线性规划问题有无穷多最优解。

解2：两阶段法。

现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量45,,x x 再加上人工变量67,,x x 得第一阶段的数学模型67min x x ω=+123461257123456789428326,,,,,,,,,,0x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+-+=⎪⎨⎪⎪≥⎩第一阶段求得的最优解*T (,,0,0,0,0,0)55X =,目标函数的最优值*0ω=。

因人工变量670x x ==，所以T49(,,0,0,0,0,0)55是原线性规划问题的基可行解。

于是可以进行第二阶段运算。

将第一阶段的最终表中的人工变量取消，并填入原问题的目标函数的由单纯形表计算结果可以看出，最优解*T (,,0,0,0,0,0)55X =，目标函数的最优解值*4923755z =⨯+⨯=。

由于存在非基变量检验数30σ=，故该线性规划问题有无穷多最优解。

1.8习题二 P762.1 写出对偶问题 (a)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤+++≥++++=无约束3213214321321321,0,534332243 ..422 min x x x x x x y x x x x x x t s x x x z 对偶问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥=++≤++≤++++=无约束321321321321321,0,0433424322 ..532max y y y y y y y y y y y y t s y y y w (b)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++≥-+-=++++=0,0,837435522 ..365max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束 对偶问题为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+-≥++=+-++=0,0,332675254 ..835 min 321321321321321y y y y y y y y y y y y t s y y y w 无约束 2.2(a)错误。

原问题存在可行解，对偶问题可能存在可行解，也可能无可行解。

(b)错误。

线性规划的对偶问题无可行解，则原问题可能无可行解，也可能为无界解。

(c)错误。

(d)正确。

2.6 对偶单纯形法 (a)⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+++=0,,522 33 ..18124 min 3213231321x x x x x x x t s x x x z 解：先将问题改写为求目标函数极大化，并化为标准形式()⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=+---=+--++---=5,,10522 3 3 ..0018124'max 53243154321Λi x x x x x x x t s x x x x x z i列单纯形表，用对偶单纯形法求解，步骤如下最优解为Tx ⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,1,0， 目标值39=z 。

(b)⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++++=0,,1053642 3 ..425 min 321321321321x x x x x x x x x t s x x x z 解：先将问题改写为求目标函数极大化，并化为标准形式()⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=+----=+---++---=5,,101053642 3 ..00425'max 5321432154321Λi x x x x x x x x x t s x x x x x z i列单纯形表，用对偶单纯形法求解最优解为()T x 2,0,0=， 目标值8=z 。

2.8 将该问题化为标准形式：()⎪⎩⎪⎨⎧=≥=++-=++++++-=5,10426..002 max 521432154321Λi x x x x x x x x t s x x x x x z i由于0<j σ，所以已找到最优解()10,0,0,0,6*=X ，目标函数值12*=z (a) 令目标函数112233max 2z x x x λλλ=+++（）（-1+）（1+）(1)令230λλ==，将1λ反映到最终单纯形表中表中解为最优的条件：0-3-1≤λ，0- 1 -1≤λ，0-21≤-λ，从而11-≥λ (2)令031==λλ，将2λ反映到最终单纯形表中表中解为最优的条件：0 3-2≤λ， 从而32≤λ (3) 令021==λλ，将3λ反映到最终单纯形表中表中解为最优的条件：01-3≤λ， 从而13≤λ(b) 令线性规划问题为()⎪⎩⎪⎨⎧=≥+≤+-+≤+++-=3,10426 ..2 max 5214321321Λi x x x x x x t s x x x z iλλ (1)先分析的变化⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆=∆-*111101101λλλb B b使问题最优基不变的条件是010611≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=∆+**λλb b ，从而61-≥λ(2)同理有01062≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λ，从而102-≥λ (c) 由于)10,0,0,0,6(=*x 代入26231<-=+-x x ，所以将约束条件减去剩余变量后的方程22631=-+-x x x 直接反映到最终单纯形表中因此增加约束条件后，新的最优解为1103x =，383x =，5223x =，最优值为2832.12(a) 线性规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=0,,3054345536 ..43 max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x z最优解为()()3,0,5,,321=x x x ，目标值27=z 。