解函数 在区间[11]上除x0外连续且
由于
即反常积分 发散所以反常积分 发散
例6讨论反常积分 的敛散性
解当q1时
当q1时
当q1时
因此当q<1时此反常积分收敛其值为 当q1时此反常积分发散
备注栏
教
学
后
记
类似地连续函数f(x)在区间(b]上和在区间()上的反常积分定义为
反常积分的计算如果F(x)是f(x)的原函数则
可采用如下简记形式 类似地
例1计算反Байду номын сангаас积分
解
例2计算反常积分 (p是常数且p>0)
解
提示
例3讨论反常积分 (a>0)的敛散性
解当p1时
当p<1时 当p>1时
因此当p>1时此反常积分收敛其值为 当p1时此反常积分发散
存在则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a)上的反常积分记作 即
这时也称反常积分 收敛
如果上述极限不存在函数f(x)在无穷区间[a)上的反常积分 就没有意义此时称反常积分 发散
类似地设函数f(x)在区间(b]上连续如果极限 (a<b)
存在则称此极限为函数f(x)在无穷区间(b]上的反常积分记作 即
这时也称反常积分 收敛如果上述极限不存在则称反常积分 发散
课堂教学目标
1．了解反常积分的概念
2．会计算简单反常积分。
教学过程
1．无穷限反常积分的概念（20min）；
2．无穷限反常积分的计算（25min）；
3．无界函数反常积分的定义（20min）
4．无界函数反常积分的计算（25min）
教学基本内容
§57反常积分
一、无穷限的反常积分
定义1设函数f(x)在区间[a)上连续取b>a如果极限
定义2设函数f(x)在区间(ab]上连续而在点a的右邻域内无界取>0如果极限 存在则称此极限为函数f(x)在(ab]上的反常积分仍然记作 即 这时也称反常积分 收敛
如果上述极限不存在就称反常积分 发散
类似地设函数f(x)在区间[ab)上连续而在点b的左邻域内无界取>0如果极限 存在则称此极限为函数f(x)在[ab)上的反常积分仍然记作 即
§57反常积分
授课次序34
教学基本指标
教学课题
§57反常积分
教学方法
当堂讲授，辅以多媒体教学
教学重点
反常积分
教学难点
反常积分的概念与计算
参考教材
同济大学编《高等数学（第6版）》
自编教材《高等数学习题课教程》
作业布置
《高等数学》标准化作业
双语教学
函数：function；极限：limit；定积分：definite integral
设函数f(x)在区间()上连续如果反常积分
和
都收敛则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间()上的反常积分记作 即
这时也称反常积分 收敛
如果上式右端有一个反常积分发散则称反常积分 发散
定义1连续函数f(x)在区间[a)上的反常积分定义为
在反常积分的定义式中如果极限存在则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散
类似地函数f(x)在[ab)(b为瑕点)上的反常积分定义为
函数f(x)在[ac)(cb] (c为瑕点)上的反常积分定义为
反常积分的计算
如果F(x)为f(x)的原函数则有
可采用如下简记形式
类似地有
当a为瑕点时
当b为瑕点时
当c(acb)为瑕点时
例4计算反常积分
解因为 所以点a为被积函数的瑕点
例5讨论反常积分 的收敛性
这时也称反常积分 收敛如果上述极限不存在就称反常积分 发散
设函数f(x)在区间[ab]上除点c(a<c<b)外连续而在点c的邻域内无界如果两个反常积分 与 都收敛则定义
否则就称反常积分 发散
瑕点如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界那么点a称为函数f(x)的瑕点也称为无界
定义2设函数f(x)在区间(ab]上连续点a为f(x)的瑕点函数f(x)在(ab]上的反常积分定义为 在反常积分的定义式中如果极限存在则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散