实际上：在一个给定的交易日中，随着时间的 推移，交易者总是不断地预测资产的价格并随 时记录新事件的发生。这些事件中总会包含一 些不可预测的部分，但过后这些不可预测部分 也会被观测，此时这些事件均已成为已知事件， 并变为交易者拥有的新信息集的一部分。
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随机微分方程 模型一般条件
t
P(|0a源自Su ,u)观察在很短的且不连续的时间间隔上的有限差
Sk Sk1 a(Sk1, k)h (Sk1, k)Wk
k 1,2 n
若此方程的解是一个随机过程 St ，则意味着
1、如何找到一系列用ｋ来标识的随机变量，以
满足上式中的增量 Sk
2、能否知道满足方程的随机过程S
和分布函数。
t
的时态函数
3、对任一给定的 a()和 () ，能否找到一系列
对于不同的市场参与者来说他拥有不同的信 息集，那么随机微分方程的含义不同。
如：假如一个市场参与者拥有“內幕信息”， 可事先获知影响价格变动的所有随机事件，则 在这种（非现实）情况下上式中的扩展项等于 零。
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原因
参与者知道 dSt 将如何变化，他就能完全
预测这一变量，即对任一时刻而言都有
dWt 0
品进行定价时，并不能准确获悉过程Wt 的实际情况，
我们能够运用的只有其波动率和波动趋势，因而， 在这种情况下给衍生产品定价，应运用弱解。
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四、随机微分方程解的证明 看一个特殊的随机微分方程：
dSt Stdt StdWt
即在对看涨期权定价之中运用的布莱克—— 休斯模型。
变形 首先计算 由于
1 St
出依赖于参数的函数，如 St f (a, , t, S0 ,Wt )
二、解的类型 1．强解
dSt a(St ,t)dt (St ,t)dWt
已知主参数 a() ，扩展参数 () 以及随机
变动项 dWt
则随机过程 St ：
t
t
St S0 0 a(Su , u)du 0 (Su , u)dWu
称为随机微分方程 的强解。
注 强解与一般微分方程的解是相似的
相同点 都是均值为0，方差等于 dt的维纳过程； 首页
密度函数的表达式相同。
从这个意义上来讲，这两个随机误差项之 间不存在什么区别。
不同点 限定二者的一系列信息集不同。
虽然基本的密度函数是相同的，但如果被不同的 信息集来衡量，那实际上这两个随机过程代表了现实 生活中根本不同的两种现象。
说明2
dSt a(St ,t)dt (St ,t)dWt
因此这类参与者的随机微分方程可写作
dSt a(St ,t)dt
而其他参与者的随机微分方程则是不变。
表明
随机微分方程的具体形式以及误差项 dWt
的定义都要依赖于信息集 { It ，t [0,T ] }
即维纳过程 dWt 与信息集 It 相对应。
随机微分方程可用于对衍 生金融资产定价的原因
对于标的资产的价格是如何随时间而发生变动， 此方程不但给出一个规范的模型，而且其推导 过程与金融市场中的交易者行为是一致的。
其中的扩展项包含外生变量 dWt ，它表示影响价
格进行完全不可预测变动的极其微小的事件。这一
系列小事件形成的“历史”就是ｔ时刻的信息 It
集。
计算强解是在给定dWt 时，求满足方程的值 St ，
也就是说为得到强解，需要知道集合I 与 It 是相互对应的。
t
，强解
S
t
~s 计但另算需外弱考的解虑信与息过 集t 时程H不td，W需~t要且的考它相虑是关生H联成t的。信鞅又息。过集程Idt 的W~过t可程生，成
第九章 基础资产价格的变动 -------随机微分方程
第一节 引 言 第二节 随机微分方程的求解 第三节 随机微分方程的主要形式 第四节 股票价格对数正态分布的特性
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第一节 引 言
随机微分方程
dSt a(St ,t)dt (St ,t)dWt
即将随机价格的变动分解为可预测和不可预 测两部分，且分解过程用到在时刻t的信息集。
的随机数对于所有的ｋ而言都满足上面的等式。
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其次 再寻求当时间间隔h趋于0时的方程的解
如果连续的时间过程 St ，对于所有的t 0
满足下列方程
t
t
t
0 dSu 0 a(Su ,u)du 0 (Su ,u)dWu
则定义 St 是随机微分方程 的解。
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dSt a(St ,t)dt (St ,t)dWt
首页 因此，弱解
需要满足
dS~t a(S~t ,t)dt (S~t ,t)dW~t
三、解的选择
~s 强解和弱解具有相同的主项和扩展项，因此 St 和 t
具有相似的统计特性。给定均值和方差，两解虽然 有所不同，但我们并不能把二者区别开来。
若误差项 dWt已知，则金融分析家会选择强解。
但是在运用解随机微分方程的办法来对衍生金融产
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S S e(
a
1
2
2
)
t
Wt
t
0
用伊藤定理来计算随机微分 dSt
dSt
(
S0e
a
1 2
2
)t
Wt
[(
a
1 2)dt
2
dWt
1
2
2dt]
即
dSt St (adt dWt )
若 a 则这正是给定的随机微分方程。
因此，求得随机微分方程的强解为：
S S e(
1 2
2
)
t
Wt
t
0
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注 要求随机微分方程的强解，应考虑备选解法，即找
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2．弱解
已知主参数 a() ，扩展参数 ()
~s 求得过程 t
S~t f (t,W~t )
其中W~t 是一维纳过程.
使其满足下面随机微分方程
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t
t
t
0 dSu 0 a(Su ,u)du 0 (Su ,u)dWu
~s 则称 是随机微分方程的弱解。 t
说明1
dWt与 dW~t 的区别
|
du
)
1
P(
t
0
(Su ,u)2 du
)
1
即随着时间地推移，主参数和扩展参数不会发 生太大幅度地变动。
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第二节 随机微分方程的求解
随机微分方程所含未知数是一个随机过程 St ，
因而求其解就是要找寻一个随机过程，使其 运动轨迹及发生概率都与其它需准确测量的 轨迹相关联。
一、解的含义
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首先
dSt
dt
dWt
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t 0
1 Su
dSu
t
du
0
t
0 dWu
t
0 du t
普通积分
而
t
0 dWu (Wt W0 ) 因 W0 0
虽含有一个随机项，但 dWt的系数是一个不随时
间而改变的常数。
故
t 0
1 Su
dSu
t
Wt
即随机微分方程的任何解都必须满足这一积分方程
下面用伊藤定理来解决这一方程。 考察备选项：