当前位置：文档之家› 倒向随机微分方程的理论_发展及其应用_周少甫

倒向随机微分方程的理论_发展及其应用_周少甫

MATHEMATICAAPPLICATA

2002,15(2):9～13

倒向随机微分方程的理论、发展及其应用Ξ

周少甫1,黄志远2,张子刚3

(1.华中科技大学经济学院,湖北武汉430074;2.华中科技大学数学系,湖北武汉430074;3.

华中科技大学管理学院;湖北武汉430074)

摘要:本文全面综述了倒向随机微分方程理论的出现、发展、应用及研究现状,介绍了

作者博士论文的主要工作.

关键词:金融数学;倒向随机微分方程;随机微分效用;正—倒向随机微分方程

中图分类号:O211.63 AMS(2000)主题分类:60H30

文献标识码:A 文章编号:100129847(2002)0220009205

一般认为金融学从一门描述性的科学向金融数学的转变始于HarryMarkowitz[1]在1952

年的开创性工作,他为现代有价证券的组合理论奠定了基础,他的理论引发了所谓的第一次

“华尔街革命”.许多学者进一步发展了他的理论.下一步重要的发展是1964年Sharpe[2]和

1965年Lintner[3]提出的资本资产定价模型(CAPM)及1976年Ross[4]把CAPM模型扩展成套

利定价模型(APT).1973年,FisherBlack和MyronSchole[5]发展了“期权及公司债务的定价”,提

出了第一个完整的期权定价模型.同一年,RobertMerton[6]发表了“计算期权合理价格的理

论”.这些里程碑式的成果,引发了第二次“华尔街革命”,在理论和实践中都有特别重要的意

义.FisherBlack和MyronSchole的期权定价模型提出之后,金融数学以前所未有的的速度发展.

许多现代的数学工具,如随机微积分[7,8,9],鞅方法,凸分析[10],随机最优控制,多元统计分

析,数学规划[11,12],现代计算方法等在金融理论与实践中起着关键作用.许多经济学家和数

学家都为金融数学的发展作出了贡献.他们中的佼佼者不少已先后获得了诺贝尔经济学奖。

金融数学的发展,也促进了一类新的随机微分方程理论———倒向随机微分方程的出现,发展和

逐步完善.

倒向随机微分方程理论研究的历史较短,但进展却很迅速,除了其理论本身所具有的有趣

数学性质之外,还发现了重要的应用前景.1973年,法国数学家Bismut[13]在研究随机最优控

制时,研究了线性BSDE的适应解。而一般形式的非线性倒向随机微分方程:

dX(t)=b(t,X(t)dt+σ(t,X)dW(t),

X(T)=X,0≤t≤T.(1)

实际上是伊藤随机微分方程初值问题的反向问题,即终值问题,在金融理论中,递归效用,微分

Ξ收稿日期:2001212205

基金项目:国家自然科学基金项目(70071011)

作者简介:周少甫(19632),男,汉,华中科技大学管理学院博士后,副教授,研究方向:随机过程.

考虑具有Ft适应过程X(t)满足(1),且X(T)=X,方程(1)往往无解,为此众多学者作了不懈

努力.如利用样本广义解方法,如Huang(1984)[14]把终值问题转化为初值问题求解;利用随

机流产生σ2代数,如Kunita(1990)[15],但其σ2代数流是倒向的;增大σ2代数流,如

Jeulin(1979)[16],令󰁪Ft=σ(Ft∪X),但此时Brown运动关于新的σ2代数流一般不再是Brown

运动,而是半鞅;利用Malliavin随机变分学,如Nualart,Pardoux[17]讨论非适应过程的随机微

分方程,但这仅在某些特殊情况下得到较满意的结果.1990年,我国学者彭实戈和法国学者E.

Pardoux受控制问题的启发,在众多学者研究的基础上,发现了下面形式的有限维倒向随机微

分方程是可解的,在系数f满足Lipschitz条件下,解是唯一的.

dy(t)=-f(t,y(t),z(t))dt+z(t)dW(t),

y(T)=Y.(2)

(2)和(1)的最大不同在于它中间除了对W(t)适应的未知过程y(t)需要求解外,还有一个适

应过程z(t)也同时要求解.这个z(t)是dW(t)前的系数,也就是布朗运动W对y的运动的干

扰强度.即使d前的系数f(t,y(t),z(t))中不含z(t),一旦f确定后,根据y的最终状态,这个

干扰强度z(t)也就完全确定,因为他们证明了在f关于y,z满足一致Lipschitz条件下,(2)存在

唯一的一对解.巧合的是,1992年,著名经济学家Duffie和Epstein[18]提出,不确定环境下的效

用函数应当由一种新的“随机微分效用”来递归解出,独立地获得了如下特殊情况的倒向随机

微分方程:

dy(t)=g(y(t),z(t))dt-z(t)dW(t),

y(T)=0.(3)

此时,g中的z刻画了效用函数的“风险厌恶”(riskaversion)程度.但他们的理论只能处理g是

z的平方或g不含z的两种情况.Karoui,Peng和Quenez[19]的文章对此进行了系统的论述,合

理地解释了为什么需要更一般的倒向随机微分方程来刻画效用函数.

(2)有下面的一般形式

dy(t)=-f(t,y(t),z(t))dt+(g(t,y(t))+z(t))dW(t),

y(T)=Y.(4)

Peng和Pardoux[20]证明了对固定t,f关于y,z,g关于y满足Lipschitz条件下解的存在唯一性

定理.一般说来,Lipschitz条件太强,许多学者放宽了f,g所满足的条件,证明了(4)解的存在

唯一性,并在d=1情况下,建立了相应的比较定理.Peng(1993)[21]证明了方程(2)在f满足

局部Lipschitz条件下,解的局部和整体存在唯一性.

Daring和Pardoux[22]证明了方程(2)在f关于y满足单调性条件,关于z满足Lipschitz条件

下,解的存在唯一性.毛学荣[23]在类似于Yamada和Watanabe条件下:f(s,・,・)关于y,z,

g(s,・)关于y满足

|f(t,y,z1)-f(t,y2,z2)|2≤ρ(|y1-y2|2)+C|z1-z2|2,

|g(t,y1)-g(t,y2)|2≤ρ(|y1-y2|2),(5)

其中ρ∶R+→R非减凹函数,ρ(0)=0及∫

0+ρ-1(u)du=∞得到BSDE(4)解的存在唯一性.Cao

和Yan[24]给出了d=1时,在毛学荣条件(5)

下方程(2)的比较定理.条件(5)是Lipschitz条件

的自然推广.如K>0定义ρ(u)=Ku,u≥0,则f关于y,z,g关于y满足Lipschitz条件.我

们注意到方程u′=ρ(u)在初始条件u0=0下,有唯一解u≡0.函数ρ(u)有明显的实际意01应用数学 2002

0,u′(0+)=∞,它显然不满足Lipschitz条件,但却可能满足上述函数ρ的条件.

1997年,司徒荣[25]考虑了如下带跳有限维倒向随机微分方程的解:

xt=X+∫τ

t∧Tb(s,xs,qs,ps,ω)ds-∫τ

t∧TqsdWs-∫τ

t∧T∫zps(z)󰁯Nk(ds,dz),t≥0,(6)

这里τ为有界停时,X是Fτ可测r.v.,󰁯NK是Possion鞅测度,其中b可分成两部分:b1+b2,b1满足弱单调性条件,b2满足Lipschitz条件.就本文作者所知,迄今为止,此条件是保证(6)解的

存在唯一性最弱的一组条件.陈增敬[26]考虑了方程(2)在d=1,T被一个停时τ取代,在条

件H1-H3(见[38]第二章)下,解的存在唯一性.在[38]第二章,我们给出了其相应的比较定

理.由于控制理论和经济研究的需要,1993年,Antonelli[27]首先提出了如下形式的

Ut=Jt+∫t

0fs(Us,Vs)dXs,

Vt=E∫T

tgs(Us,Vs)dZs+Y|Ft,0≤t≤T,

VT=Y,(7)

倒向随机微分方程(简称FBSDE),此时(Ω,F,{Ft}0≤t≤T,P)是满足通常条件的完备概率空

间,Y是Ft2可测r.v.,fs,gs,满足Lipschitz条件,Xs和Zs是半鞅,Jt为循序可测过程.加上适当

条件,Antonelli证明了(7)解的存在唯一性.1994年,Ma,Protter和Yong[28]研究了有限维FBSDE的更一般形式:

Xt=x+∫t

0b(s,Xs,Ys,Zs)ds+∫t

0σ(s,Xs,Ys,Zs)dWs,

Yt=g(XT)+∫T

t^b(s,Xs,Ys,Zs)ds+∫T

t^σ(s,Xs,Ys,Zs)dWs,0≤t≤T.(8)

当σ非退化时,给出了求解的“四步方法”.为了保证每步行得通,b,^b,σ,^σ和g应满足[28]假

设A1-A4.1995年,Hu和Peng[29]讨论了下面的特殊形式的FBSDE,在其系数满足某种单调

性条件下,解的存在唯一性定理.

Xt=x+∫t

0b(s,Xs,Ys,Zs)ds+∫t

0σ(s,Xs,Ys,Zs)dWs,

Yt=g(XT)-∫T

th(s,Xs,Ys,Zs)dt-∫T

tZsd

Ws,0≤t≤T.(9)

1998年,Hamadene[30]在Hu和Peng研究基础上,给出了更弱的两组条件,通过定义迭代

序列,分别证明了(9)解的存在唯一性定理.这里要指出的是,对有限维的BSDE,FBSDE解的存

在唯一性证明都依赖于It^o公式,对无穷维倒向随机发展方程适度解的讨论,不能直接用It^o公

式,只能定义Picard迭代序列,通过区间细分的方法,逐段证明适度解的存在唯一性.

到现在为止,有限维倒向随机微分方程的理论研究已趋完善,该理论已被广泛应用到投资

决策,期权定价,递归效用,随机微分效用等经济理论和实践中.特别值得一提的是倒向随机微

分方程理论可以用来对不完备市场中的各种派生证券的定价及套期保值问题提供有力的分析

和近似计算方法.一个典型的例子就是可以解决投资组合受限且限制非凸的情况下定价问题.

随着Hilbert空间中最优控制理论的讨论,要求我们考虑Hilbert空间中倒向随机微分方程

解的存在唯一性问题.Hilbert空间中BSDE理论应看作是有限维BSDE理论的一个自然扩展,11第2期周少甫等:倒向随机微分方程的理论、发展及其应用

e商务文档

倒向随机微分方程的理论_发展及其应用_周少甫

相关文档推荐：