p x dp dx L
1 h h 2 p v x vx dy h 0 12 L
Wh 3 p 流量 Q 12 L
(a)情形的流量是(b)情形和(c)情形的流量之和
圆管内的一维稳态流动分析。
不可压缩流体在水平 圆管内作一 维稳态层流流动。试写出该条件下的连 续性方程和运动微分方程。并证明管道 截面上任一点的总势能和轴向压力梯度 为常数。
(即:线变形率)，同固体力学中的虎 克定律。
线变形率与流体流动： 从流体流动角度看，线变形率的正负
反映了流体的流动是加速还是减速； 体变形率的正负反映了流动过程中流 体体积是增加还是减少。
正应力中的粘性应力：
xx
x 2 vx v y vz p 2 x 3 x y z



vx v y vx vz y x x y z z
适用于牛顿流体 常见条件下N－S方程的表达形式：
常粘度条件下N－S方程：
2
const
N-S方程
牛顿流体的本构方程
引入的基本假设：
为了寻求流体应力与变形速率之间的关系，Stokes提出三个 基本假设：
应力与变形速率成线性关系; 应力与变形速率之间的关系各向同性；
静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压力
xx yy zz p
牛顿流体的本构方程：
xx
例题
1．圆管内的稳定层流
y
v v v 分量： t v r r r 1 1 rv r r r r
v v r v v f z p z z vz r z 2 2 1 v 2 v r v 2 2 2 2 r r z
连续方程和N－S方程是粘性流体流动应遵循的质量守恒和 动量守恒的数学表达式。
N-S方程应用概述
封闭条件：理论上方程是封闭的，但若要考虑到物性参数 的变化，应将物性变化的关系作为补充方程。
应用条件：只适用于牛顿流体 方程求解：N－S方程无普遍解；特殊条件下，有可能获得 准确或近似的分析解；通常通过数值计算获得离散解。
流动微分方程的应用求解步骤
(1)根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化，获 得针对具体问题的微分方程或方程组。
(2)提出相关的初始条件和边界条件。
初始条件：非稳态问题 流体具有粘性，在与壁面接 固壁－流体边界： 触处流体速度为零。 边界条件 对非高速流，气液界面上， 液体－气体边界： 液相速度梯度为零。 液体－液体边界： 液液界面两侧的速度或切应 力相等。
矢量形式：v
非定常项 定常流动为0 静止流场为0
Dt
1 2 ( ) f p



扩散项（粘性力项） 对静止或理想流体为0 高速非边界层问题≈0 单位质量流体 的压力差
对流项 静止流场为0 蠕变流时≈ 0
单位质量流体 的体积力
流体流动微分方程的应用
Dv y
2 y 2 y 2 y 1 p fy 2 2 2 Dt y x y z

2 z 2 z 2 z Dvz 1 p fz 2 2 2 Dt z x y z
zz
xy yx
vx v y x y
yz
v y vz zy z y
vz vx zx xz x z
本构方程的讨论： 正应力与线变形速率： 流体正应力与三个速度偏导数有关
2 2
x x x 1 Dvx 1 p fx 2 2 2 Dt x x y z 3 x 2 2 2 Dv y y y y 1 p 1 fy 2 2 2 x Dt y y y z 3 2 2 2 z z z 1 Dvz 1 p fz 2 2 2 Dt z z y z 3 x
矢量形式：
1 Dv 2 f p Dt
适用于牛顿流体 const 常粘度条件下不可压缩流体的N－S方程： const
2 x 2 x 2 x vx vx vx vx 1 p vx vy vz fx 2 2 2 t x y z x x y z
r x 1 rvr 1 v v z 连： 0 r r r z v z v v z v z v z o z z分量： t v r r r v z z 流向 2 2 1 v z 1 v z v z 化简条件： r 2 2 2 z z 流动稳定 /t=0， r r r r 2 一维流动 vr=v=0， v r v v v v v r r分量： vr r v z r 轴向对称，/=0 t r r r z 2 2 v z 1 v 1 v 2 v r r 0 rv r r 2 2 r 2 r r r r z 2
矢量形式：
1 1 Dv 2 f p ( ) Dt 3
适用于牛顿流体 不可压缩流体的N－S方程： const
2 x 2 x 2 x Dvx 1 p fx 2 2 2 Dt x x y z
yy
x 2 vx v y vz p 2 x 3 x y z 2 vx v y vz p 2 y 3 x y z z 2 vx v y vz p 2 z 3 x y z y
2. 层流，流速x 方向
vy vz 0
v x v x 0 y z
3. 连续性方程 （不可压缩）
v x v y v z 0 x y z
v x 0 x
4. 设板平行于地面，质量力gx=gz=0,gy=－g(忽略质量力时，gy=0)
5. 平板沿z向相对于二板距离为无限宽，忽略此方向上边界面影响。
第三章
粘性流体运动
粘性流体运动微分方程
Navier－Stokes方程
以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。
对一维流动问题： 补充方程：牛顿剪切定律
对粘性流体流动问题： 补充方程：广义的牛顿剪切定律
即：牛顿流体本构方程
目的
关键：寻
求流体应 力与变形 速率之间 的关系
将应力从运动方程中消去，得到 由速度分量和压力表示的粘性流 体运动微分方程，即N-S方程。
xx p xx
xx
附加粘性正应力
附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。
正应力与压力：
由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等 于正应力值。但有：
p
xx
yy zz 3
这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平 均值却总是与压力大小相等。
v v max
vdA u A 1 R 2
r 1 R
2

R
0
v 2rdr
2 v max 1 R r 2v max 1 rdr 2 0 2 R R
v max
2 R 4 L

引入：阻力系数（又称范宁因子）
f
v v max
w
u2 2
r 1 R
2
而由牛顿粘性定律可知，圆管内层流时： dv 2 4 w v max u rR dr R R
8 16 16 f uR ud Re
引入：摩擦因数
64 4f Re
速度势和流函数
h 2
2
(3-68)
对(c)情形： v0=0，流体两端压力差 p = px－px+L
vx 1 p y (h y ) 2 L
h 2 p vx,max 2 L
(3-69)
(3-70) (3-71) (3-72)
1 dp vx y ( y h) 2 dx
h y 时, 2
将以上条件代入N-S方程，得
2v x p 2 x x (1)
p 0 y (2)
p 0 z
(3)
1 dp 2 解(1)式，得 v x 2 dx y C1y C2
边界条件——对(a) (b)情形： y=0时，vx=0; y=h时，vx=v0 得（3-64）式： v0 y 1 dp vx y( y h) 2 dx h 特别对(b)情形： v0 y v (3-65) (3-66) x y h 时 , v v dp x , max 0 h 0 dx 1 h 1 1 v x v x dy v0 (3-67) 流量 Q v v0Wh xWh 0
一 速度势函数
V 0 ，由矢量分析知，任一标 对于无旋流场，处处满足：
量函数梯度的旋度恒为零，所以速度 数 的梯度，即: V
切应力与角边形率：
流体切应力与角变形率相关。
牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系， 是流体力学的虎克定律（反映应力和应变的关系）。
适用于牛顿流体 流体运动微分方程——Navier－Stokes方程
Dvx p 2 x fx 2 Dt x 3 x x x
两平行平板间的层流流动
(a) (a) (a) 压力梯度＋上板速 v 压力梯度＋上板速 v0 0 压力梯度＋上板速 v