第七章 粘性流体动力学基础第一节 粘性流体运动的基本方程采用流体力学微元体平衡分析方法可以推导出粘性流体运动的基本方程组，该方法可参考本书的第二章和第三章。

本节将直接由两大守恒定律（质量守恒定律和动量守恒定律）来建立控制流体运动的基本方程组。

首先需要给出空间某点物理量的随体时间导数表达式、雷诺输运方程以及本构关系。

一、随体导数描述流体运动规律有拉格朗日和欧拉两种基本方法。

拉格朗日法着眼于确定的流体质点，观察它的位置随时间的变化规律。

欧拉法着眼于从空间坐标去研究流体流动，它的描述对象是流场。

随体导数的物理意义是：将流体质点物理量q 的拉格朗日变化率以欧拉导数的形式表示出来。

随体时间导数的数学表达式为：()q V t q dt dq ∇⋅+= ∂∂ (7-1)式中右边第一项代表由时间的变化所引起的变化率，也就是由于场的时间不定性所造成的变化率，叫做当地导数。

第二项代表假定时间不变时，流体质点在流场中的位置变化所引起的变化率。

这是由于场的不均匀性造成的，叫做迁移导数。

二、雷诺输运方程雷诺输运方程描述了积分形式的拉格朗日法和欧拉法的时间导数的变换关系。

设封闭系统在t 时刻占有体积()t Ω，如图7-1所示。

其中关于物理量q 的总量的随体时间导数有图7-1 封闭系统输运示意图()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+Ω=ΩΩΩt S t t dS n V q d t q d q dt d ∂∂ (7-2) 其中()t S 为封闭体积的曲面，n 为曲面的法向向量。

上式表明：封闭系统中，某物理量总和的随体导数等于该瞬间与该系统重合的控制域中该物理量总和的当地时间导数（非定常效应）和通过控制面流出的该物理量的流量（对流效应）之和，此即为流体的雷诺输运方程。

用广义的高斯公式将面积分转换成体积分，上式也可以写成()()()Ω∂∂ΩΩΩd V q t q d q dt d t t ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇+= (7-3)三、连续方程连续性方程反映了流体在运动过程中必须满足质量守恒定律。

其中拉格朗日法的研究对象是流体中一个确定质量的流体物质团（称为封闭系统），随着流体的运动，封闭系统的表面的位置会不断随时间而变化，但没有流体穿过它的边界。

质量守恒定律可表述为：封闭系统内流体的质量在流体运动的过程中不发生变化。

而欧拉法的研究对象则是流场空间中一个固定的区域（称为控制域），控制域表面的位置不随时间而变化，由于流体的运动，控制域的表面通常会有流体通过。

质量守恒定律可表述为：控制域内流体质量随时间的增加与流体经控制体表面流入的质量相等。

在式(7-3)中令ρ=q ，可得连续方程()()0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇+⎰⎰⎰Ωρ∂∂ρΩd V t t (7-4)考虑到积分体积的任意性并假定被积函数连续，上式可以写成()∂ρ∂ρt V +∇⋅= 0 (7-5)这是基于欧拉观点的微分形式的连续方程。

它表明控制体中流体质量在单位时间内的增加来自流体质量经控制体表面的流入速率。

将随体时间导数表达式代入上式，便得到基于拉格朗日观点的微分形式的连续方程。

10ρρd dtV +∇⋅= (7-6) 对于不可压缩流动，恒有d dt ρ/=0成立，此时连续方程简化为 ∇⋅= V 0 (7-7)连续方程仅反映了流体的运动学特性，与流体的本构关系无关。

动量方程反映了流体的动力学特性，因此需要先介绍本构方程。

四、 本构方程本构方程反应了应力和应变率之间存在的制约关系，这是建立流体动力学方程的基础。

真实流体的力学性质是很复杂的，不同种类的流体可能表现出完全不同的力学特性，即便是同一种流体在不同的外部条件下，比如温度不同时，力学特性也会有很大的差异。

因此要建立一个普适的本构方程几乎是不可能的。

Stokes 提出了适用于牛顿流体的如下三条假设：（1）流体是各向同性的，也就是说流体的物理性质与方向无关，只是坐标位置的函数；（2）应力张量ij σ是应变率张量ij e 的线性函数，与旋度无关。

（3）静止流体中，切应力为零，正应力的值为流体的静压。

根据以上假设，考虑到应力张量和应变率张量的对称性，由张量理论便可以推导出应力和应变率间的关系如下：ij ij kk ij ij e e p μδλδσ2++-= (7-8)其中μ为动力粘性系数，λ为第二粘度。

静压p 是一个热力学状态参数()p p T =ρ,。

在热力学平衡态下，它总是等于三个相互垂直方向上正应力的平均值(力学压强)。

在流体力学研究的问题中，有相当一部分是接近平衡态的非平衡体系，这时p 与一点处的平均压强p 是有一定的差别的。

将上式的下标缩并后两边除以-3后得到p p e p e kk kk B kk =-=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-1323σλμμ (7-9)图7-2 应力张量示意图其中μλμB =+23 (7-10)称为体积粘性系数。

这表明热力学平衡压强或静水压强p 与力学压强p 相差kk B e μ。

式（7-8）也可写成：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=ij kk ij ij kk B ij e e e p δμδμσ312 (7-11) 对于单原子气体p ＝p ，μB ＝0。

对于多原子牛顿流体，根据Stokes 假设，通常满足体积粘性系数μB 为零的条件，不必区分力学压强p 与热力学压强p ，本构方程简化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=ij kk ij ij ij e e p δμδσ312 (7-12)其中只含有动力粘性系数，该本构关系样适用于静止流体、理想流体（σδij ij p =-）。

五、动量方程动量方程在物理上反映了流体在流动过程中满足的动量守恒定律。

基于拉格朗日观点，动量守恒定律可叙述为：封闭系统内流体动量随时间的变化率等于作用在该系统上所有外力之和。

其数学表达式可以写成⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+=S dS n d f d V dt d σΩρΩρΩΩ (7-13)在雷诺输运方程中（7-3）式中，令V q ρ=并代入上式，可得到基于欧拉观点的积分形式的动量方程()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇+S dS n d f d V V V t σΩρΩρρ∂∂ΩΩ (7-14)利用广义高斯公式将上式中的面积分项改写成体积分，考虑到积分体积的任意性并假定被积函数连续，则有()∂ρ∂ρρσ() V t VV f +∇⋅=+∇⋅ (7-15)这是基于欧拉观点的微分形式的动量方程。

以连续方程（7-5）代入上式，得到动量方程的另一种常见的形式()∂∂ρσ V t V V f +⋅∇=+∇⋅1 (7-16)将牛顿流体的本构方程式（7-12）代入式（7-16）后，得到牛顿流体的动量方程（或称为Navier-Stokes 方程）()()∂∂ρνν V t V V p V V f +⋅∇=-∇+∇+∇∇⋅+1132 (7-17)式中2∇即为Laplace 算子，ν为运动粘滞系数。

在不可压缩流动中，有()∂∂ρν V t V V p V f +⋅∇=-∇+∇+12 (7-18)对于理想流体的假设，则可简化简化为欧拉方程()∂∂ρ V t V V p f +⋅∇=-∇+1 (7-19)第二节 边界层的概念由于N S —方程的非线性特征，使得问题的求解非常困难。

在许多情况下，需要根据流动的特点对方程进行不同程度的简化。

在低雷诺数流动中，由于粘性力远大于惯性力的特点，Stokes 近似将N S —方程的惯性力项略去，使基本方程得以线化，得到了具有一定精度的小球阻力公式。

在Oseen 近似中，在方程中保留了线化的惯性力项，使小球绕流的远场特性得到了改善。

大雷诺数流动的情况相反，惯性力项远大于粘性力项。

作为近似将粘性力项略去后，N S —方程化为无粘流体的欧拉方程。

若使用与它相匹配的无粘流的可滑移边界条件，对固体的绕流问题会出现零阻力的非物理解（达朗贝尔佯谬）；若使用无滑移的粘性固壁条件会导致数学模型在边界条件上的过约束。

为了解决大雷诺数情况下欧拉方程和粘性边界条件间的矛盾，普朗特（1904）引入了边界层的概念。

对绕流问题，他认为在固壁附近的很薄的一层区域内，沿固壁切向的速度由外部势流的值迅速下降为零，以满足粘性流体的固壁边界条件。

如图7-3所示，边界层形成的原因也可通过从涡旋传输的观点来解释。

流动中的任何固体边界层都相当于连续分布的涡源，它不断的在流动中产生涡旋。

紧靠表面附近的涡旋，一方面向外扩散，另一方面随着流体向下游流动。

涡旋扩散的速度取决于流体的粘性系数，粘度越大，扩散得越快，而涡旋向下游流动的速度取决于来流速度。

当雷诺数足够大时，平板表面附近的涡旋向下游流动的速度比向垂直于流动方向的速度大得多，以致包含这些涡旋的流动仅仅限于贴近表面的一个向下游伸展的薄层，这个薄层就是边界层。

在边界层内，流动是有旋的；而边界层以外的流动则可视为无旋的。

目前边界层理论已成为近代流体力学的重要基石，它澄清了大雷诺数流动问题中粘性对流动的影响。

在许多情况下，大雷诺数与湍流相互关联，本章将分节讨论低速层流边界层和湍流边界层。

边界层理论基于大雷诺数流动的近似，首先需在近似中保留部分粘性项而建立Prandtl 边界层方程。

为了说明边界层的基本特征，本章将先引出描述边界层的数学方程式，接着讨论一个最典型的边界层流动（平板边界层），然后再介绍边界层分离现象。

图7-3 边界层内的涡旋和速度分布示意图第三节 边界层的微分方程式由粘性流体力学的基本方程，采用量级分析方法和普朗特展开方法都可以推导出边界层的微分方程式。

本节将介绍第一种方法。

考虑大雷诺数的二维绕流问题，假定固壁是平直的(平板或楔)。

设y 轴与壁面垂直，x 轴与壁面平行且指向下游，坐标原点和顶点重合，如图7-3所示。

连续性方程和动量方程的两个投影分别为0=∂+∂y v x v y x ∂∂ (7-20a)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂+∂-=∂+∂+∂22221y v x v x p y v v x v v t v x x x y x x x ∂∂ν∂ρ∂∂∂ (7-20b)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂+-=∂+∂+∂22221y v x v y p y v v x v v t v y y y y y x y ∂∂ν∂∂ρ∂∂∂ (7-20c)当雷诺数Re 远大于1时，在边界层内x 方向和y 方向的物理量具有不同的数量级。

设板长为L 、无穷远来流速度为U ，边界层厚度为δ（当横截面上速度恢复到99％时的厚度）、边界层外缘的y 向速度分量为V 。

且有1Re 1~~<<L U V δ。

取L 、U 分别为x 方向的特征长度与特征速度； δ、V 分别为y 方向的特征长度与特征速度。

∞p 为远前方来流的静压，则将L x x =*， δy y =*，U v v x x =*， V v v yy =* L tU t =*， ∞=p p p * 代入式(7-20)中并将各项的量级标注如下：0****=∂∂+∂∂y v V x v L U y x δ1 1 (7-21a)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂∞2**2222**2**2********Re 1y v L x v x p U p y v v L U V x v v t v x x x y x x x δρδ 1 1 1 Re 1（1 Re ） (7-21b)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∞2**22**22**2********Re Re 1Re 1y v x v y p U p y v v x v v t v y y y y y x y ρ Re1 2Re 1（1 Re ） (7-21c)当Re>>1时，在式（7-21）中略去高阶小量，并恢复为有量纲的形式可得0=∂+∂y v x v y x ∂∂ (7-22a)221y v x p y v v x v v t v x x y x x x ∂ν∂ρ∂∂∂∂+∂-=∂+∂+∂ (7-22b)0=y p ∂∂ (7-22c)式(7-22c)表明边界层内压力的法向梯度近似为零，只是x 的函数，它可由外部势流区的压力分布来描述。