浙江省2011 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试
高等数学
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分
注意事项:
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共20分）
1. 函数1()arcsin(1)ln()1x f x x x
+=-+-的定义域为 （ ） A ．[0,1) B ．[0,2) C ．(1,1)- D ．(1,2]-
2. 设(21)x
f x e '-=，则()f x = （ ）
A ．2112x e C -+
B ．1(1)22x e
C ++ C ．2112x e C ++
D ．1(1)2
2x e C -+ 3. 设()x
f x e -=，则(ln )f x dx x '=⎰ （ ）
A ．x e C -+
B ．1
C x + C ．x e C --+
D ．1C x -+ 4. 设()f x 连续，220()()x F x f t dt =
⎰，则()F x '= （ ） A ．4()f x B ．24()x f x C ．42()xf x D ．22()xf x
5. 下列级数中，条件收敛的是 （ ）
A ．
21sin n n π∞=∑ B
．11(1)n n ∞-=-∑ C ．12(1)3n n n ∞=-∑ D
．1(1)n n ∞-=-∑
二、填空题（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有10个小题，每小题4分，共40分）
1. lim [ln(2)ln ]x x x x →+∞
+-= ． 2. 设函数sin , 0(), 0
x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内处处连续，则a = ．
3. 当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim
sin x f x x x
→= ． 4. 设函数()y y x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定，则0x dy dx == ． 5. 过点(1,2,1)-与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
垂直的平面方程为 ．
6. 计算不定积分
2dx x x =+⎰ ． 7. 2
21cos x x ππ
-=+⎰ ． 8. 已知(0)2,(2)3,(2)4f f f '===，则
20()xf x dx ''=⎰ ． 9. 已知微分方程x y ay e '+=的一个特解为x y xe =，则a = ．
10. 级数03!n
n n ∞
=∑的和为 ．
三、计算题（本题共有10个小题，每小题6分，共60分）
1. 求极限tan 20lim tan x x
x e e x x
→-．
2. 已知函数()x x y =由参数方程2ln(1)arctan
x t t y t ⎧=-+⎨=⎩确定，求22d x dy ．
3. 已知函数()y y x =由方程sin cos 2xy e y x x +=确定，求
dy dx
4. 已知ln sin(12)y x =-，求
dy dx
．
5. 计算不定积分2
(1)x
x xe dx e +⎰．
6. 计算定积分
10ln(1)x dx +⎰．
7. 求cos()x z e x y =+的全微分．（超纲，去掉）
8. 计算二重积分
D σ，其中D 是由圆223x y +=所围成的闭区域．（超纲，去掉）
9. 求微分方程22x y xy xe -'-=的通解．
10. 将函数1()f x x
=展开成(3)x -的幂级数，并指出收敛区间．
四、综合题（本题3个小题，共30分，其中第1题12分，第2题12分，第3题6分）
1. 平面图形由抛物线22y x =与该曲线在点1(,1)2处的法线围成．试求：
⑴ 该平面图形的面积；
⑵ 该平面绕x 轴旋转一周形成的旋转体的体积．
2. 已知113()()f x f x x -=
，求()f x 的极值．
3. 设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0,(1)2f f ==．证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()21f ξξ'=+成立．。