(e)
(f)
图: 细化算法示意图 (a)标记p1和邻点；(b) p1不可删除情况一；(c) p1不可删除情况二； (d) p1不可删除情况三； (e) 细化前图像；(f) 细化后的结果
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1.腐蚀运算(1) 腐蚀运算(1)
2 1 3 4 3 2 4 5 3 5 6 2 4 2 3 1
腐蚀运算： 腐蚀运算：
X
S—结构元素：收集信息的探针
x
S ＋x 3 S ＋x 2 S ＋x 1
X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后 仍在X中的x的集合
XΘS = {x : S + x ⊂ X}
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（5） 腐蚀、膨胀运算及其性质（5
在把握自然景物含义，人类思维的符号描述方面显得不够有力， 在把握自然景物含义，人类思维的符号描述方面显得不够有力， 有待发展。 有待发展。 “如果证明， 在某些时候 ， 形态学方法比其他方法在模式识别方 如果证明，在某些时候， 如果证明 面更有效，那是因为它更好地把握了景物的几何特点，仅此而已” 面更有效，那是因为它更好地把握了景物的几何特点，仅此而已” －Serra
*0 0 0 0
x x x x
x 2 2 x
腐蚀
x 2 1 x
x x x x
x x x x
x 6 6 x
膨胀
x 6 6 x
x x x x
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1.腐蚀运算(2) 腐蚀运算(2)
y 3 2 1 b 0 1 2 3 4 (a) f f 5 6 7 x 3 2 1 y
A B = {z | (B)z ⊆ A}
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（6） 腐蚀、膨胀运算及其性质（6
A ΘB = B = {z | (B)z ⊆ A}
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（7） 腐蚀、膨胀运算及其性质（7
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（2） 腐蚀、膨胀运算及其性质（2
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（3） 腐蚀、膨胀运算及其性质（3
二二二二 腐腐 膨膨
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（4） 腐蚀、膨胀运算及其性质（4
将X中的每一个点x扩大为S+x
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（10） 腐蚀、膨胀运算及其性质（10）
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（13） 腐蚀、膨胀运算及其性质（13）
y S1 O y x X X○ S 1 X○ S 2
O
S2 (a)
x (b)
图: 开运算去掉了凸角 (a)结构元素S1和S2；(b) X○S1；(c) X○S2
X (c)
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2. 开、闭运算及其性质（5） 开、闭运算及其性质（5
y S1 O y x S1 X X● S 1 X● S 2
2. 开、闭运算及其性质（2） 开、闭运算及其性质（2
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2. 开、闭运算及其性质（3） 开、闭运算及其性质（3
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2. 开、闭运算及其性质（4） 开、闭运算及其性质（4
－2
－1
0 (b)
1
2
3
x
f ( s ′′) − b ( s ′′ ＋ x ) + －
－ f ( s ′) − b ( s ′ ＋ x ) +
O
s′ (c)
s″
s
O
f
b (d)
s
(a) 图像f； (b) 结构元素b ； (c)用结构元素b对f腐蚀； (d)用结构元素b对f腐蚀的结果
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
( A + x) ⊕ / ΘB = ( A ⊕展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2. 开、闭运算及其性质（1） 开、闭运算及其性质（1
开运算： 开运算：
Ao B = ( AΘB) ⊕ B
闭运算
A• B = ( A ⊕ B)ΘB
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
②如果输入图像中亮细节的尺寸比结构元素小， 则其影响会被减弱
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2.膨胀运算(1) 膨胀运算(1)
f f
f (s′′)
f ( s′′) − b( s′′ － x) + ＋ f ⊕b f ( s′) ＋ b( s′－ x) − +
f (s′)
O
S2
x S1
X
(a)
(b)
(c)
图:闭运算填充了凹角 (a) 结构元素S1和S2；(b) X●S1； (c) X●S2
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2. 开、闭运算及其性质（8） 开、闭运算及其性质（8
平移不变性
( A + x) o /• B = ( Ao /• B) + x
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 腐蚀、膨胀运算及其性质（1） 腐蚀、膨胀运算及其性质（1
A⊕ B = AcΘ(−B)c
{
}
图 (a)两个集合A和B，(b)A和B的并集，(c) A和B的交集，(d)A的补集，(e)A和B的差
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
可用于复杂运
一般代数性质：交换律，结合律，标量分配律 一般代数性质：交换律，结合律，
A⊕ B = B ⊕ A
A ⊕ (B ⊕C) = ( A ⊕ B) ⊕C
算简单化
AΘ(B ⊕C) = ( AΘB)ΘC
腐蚀膨胀（开闭） 算子相当于对图像补集做对偶运算） 腐蚀膨胀（开闭）是一对对偶算子（算子相当于对图像补集做对偶运算） 平移不变性：对图像平移再算子操作＝对图像算子操作再平移。 平移不变性：对图像平移再算子操作＝对图像算子操作再平移。
等幂性： 等幂性：
( Ao /• B) o /• B = Ao /• B
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2. 开、闭运算及其性质（9） 开、闭运算及其性质（9
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
5. 细化
p3 p4 p5 p2 p1 p6 (a) p9 p8 p7 1 1 0 1 p1 0 (b) 0 1 0 0 1 0 0 p1 0 (c) 0 0 0 1 0 1 0 p1 1 (d) 1 0 1
90年代至今 年代至今
– 在模式识别，编码，运动分析，运动景物描述等方面取得进展。 在模式识别，编码，运动分析，运动景物描述等方面取得进展。 – 用于数值函数的形态学算子开发
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
发展历史（3 发展历史（3）
一门建立在严格数学理论基础上的学科， 一门建立在严格数学理论基础上的学科，在理论和应用方面取得 巨大成就。 巨大成就。
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
3. 机场跑道检测（2） 机场跑道检测（2
圆盘开运算
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
3. 机场跑道检测（2） 机场跑道检测（2
第八章：数学形态学 第八章： 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
发展历史（2 发展历史（2）
80年代： 年代： 年代
– Serra 1982完成《图像分析于数学形态学》，形态学走向美国及世界。 1982完成 图像分析于数学形态学》 形态学走向美国及世界。 完成《 – 在格论框架上建立的数学形态学基础。 在格论框架上建立的数学形态学基础。 – 算法开发。 算法开发。
O
s′ (a)
s″
s
O (b)
s
图: 灰值膨胀示意图 (a) 灰度膨胀过程； (b) 灰度膨胀结果
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
2.膨胀运算(2) 膨胀运算(2)
( f ⊕b)(s, t) = m {f (s − x, t − y) + b(x, y) | s − x, t − y ∈ Df , x, y ∈ Db } ax
1.腐蚀运算(3) 腐蚀运算(3)
(f b)(s, t) = m {f (s + x, t + y) − b(x, y) | s + x, t + y ∈ Df , x, y ∈ Db } in
Df和Db分别是f和b的定义域 对灰值图像的腐蚀操作有两类效果: ①如果结构元素的值都为正的，则输出图像会比输入图像暗
4.应用(1) 4.应用(1)
腐蚀
膨胀
第八章： 第八章：数学形态学 发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
1. 通过开运算检测电路板
运用一个交叉结构元素进行开运算。 运用一个交叉结构元素进行开运算。