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人教【数学】数学一元二次方程的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.解方程:(2x+1)2=2x+1.【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析:根据因式分解法解一元二次方程的解法,直接先移项,再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析:∵(2x+1)2﹣(2x+1)=0, ∴(2x+1)(2x+1﹣1)=0,即2x (2x+1)=0, 则x=0或2x+1=0, 解得:x=0或x=﹣12.2.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m+3)x+m 2=0有两根α,β. (1)求m 的取值范围; (2)若111αβ+=-,则m 的值为多少?【答案】(1)14m ≥;(2)m 的值为3. 【解析】 【分析】(1)根据△≥0即可求解, (2)化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β,αβ,代入解方程即可.【详解】解:(1)由题意知,(2m+3)2﹣4×1×m 2≥0, 解得:m≥-34; (2)由根与系数的关系得:α+β=﹣(2m+3),αβ=m 2, ∵111αβ+=-,即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣()=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0解得:m 1=﹣1,m 1=3, 由(1)知m≥-34, ∴m 1=﹣1应舍去, ∴m 的值为3. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理,对根进行判断是正确解题的关键.3.用适当的方法解下列一元二次方程: (1)2x 2+4x -1=0;(2)(y +2)2-(3y -1)2=0. 【答案】(1)x 1=-1+62,x 2=-1-62;(2)y 1=-14,y 2=32.【解析】试题分析:(1)根据方程的特点,利用公式法解一元二次方程即可;(2)根据因式分解法,利用平方差公式因式分解,然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析:(1)∵a=2,b=4,c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24>0∴x=24b b c a -±-=42461-±=-±∴x 1=-1+6,x 2=-1-6(2)(y +2)2-(3y -1)2=0 [(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1=-14,y 2=32.4.(问题)如图①,在a×b×c (长×宽×高,其中a ,b ,c 为正整数)个小立方块组成的长方体中,长方体的个数是多少? (探究)探究一:(1)如图②,在2×1×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上共有1+2=232⨯=3条线段,棱AC ,AD 上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为3×1×1=3. (2)如图③,在3×1×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上共有1+2+3=342⨯=6条线段,棱AC ,AD 上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为6×1×1=6.(3)依此类推,如图④,在a×1×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上共有1+2+…+a=()a a 12+线段,棱AC ,AD 上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为______. 探究二:(4)如图⑤,在a×2×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上有()a a 12+条线段,棱AC上有1+2=232⨯=3条线段,棱AD 上只有1条线段,则图中长方体的个数为()a a 12+×3×1=()3a a 12+.(5)如图⑥,在a×3×1个小立方块组成的长方体中,棱AB 上有()a a 12+条线段,棱AC上有1+2+3=342⨯=6条线段,棱AD 上只有1条线段,则图中长方体的个数为______. (6)依此类推,如图⑦,在a×b×1个小立方块组成的长方体中,长方体的个数为______.探究三:(7)如图⑧,在以a×b×2个小立方块组成的长方体中,棱AB 上有()a a 12+条线段,棱AC 上有()b b 12+条线段,棱AD 上有1+2=232⨯=3条线段,则图中长方体的个数为()3a a 12+×()b b 12+×3=()()3ab a 1b 14++.(8)如图⑨,在a×b×3个小立方块组成的长方体中,棱AB 上有()a a 12+条线段,棱AC上有()b b 12+条线段,棱AD 上有1+2+3=342⨯=6条线段,则图中长方体的个数为______.(结论)如图①,在a×b×c个小立方块组成的长方体中,长方体的个数为______.(应用)在2×3×4个小立方块组成的长方体中,长方体的个数为______.(拓展)如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体,那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少?请通过计算说明你的结论.【答案】探究一:(3)()a a12+;探究二:(5)3a(a+1);(6)()()ab a1b14++;探究三:(8)()()3ab a1b12++;【结论】:①()()()abc a1b1c18+++;【应用】:180;【拓展】:组成这个正方体的小立方块的个数是64,见解析.【解析】【分析】(3)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(5)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(6)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(8)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(结论)根据规律,求出棱AB,AC,AD上的线段条数,即可得出结论;(应用)a=2,b=3,c=4代入(结论)中得出的结果,即可得出结论;(拓展)根据(结论)中得出的结果,建立方程求解,即可得出结论.【详解】解:探究一、(3)棱AB上共有()a a12+线段,棱AC,AD上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为()a a12+×1×1=()a a12+,故答案为() a a12+;探究二:(5)棱AB上有()a a12+条线段,棱AC上有6条线段,棱AD上只有1条线段,则图中长方体的个数为()a a 12+ ×6×1=3a (a+1),故答案为3a (a+1); (6)棱AB 上有()a a 12+ 条线段,棱AC 上有()b b 12+条线段,棱AD 上只有1条线段,则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×1=()()ab a 1b 14++,故答案为()()ab a 1b 14++;探究三:(8)棱AB 上有()a a 12+ 条线段,棱AC 上有()b b 12+条线段,棱AD 上有6条线段,则图中长方体的个数为()a a 12+ ×()b b 12+×6=()()3ab a 1b 12++,故答案为()()3ab a 1b 12++;(结论)棱AB 上有()a a 12+ 条线段,棱AC 上有()b b 12+条线段,棱AD 上有()c c 12+条线段,则图中长方体的个数为()a a 12+×()b b 12+×()c c 12+=()()()abc a 1b 1c 18+++,故答案为()()()abc a 1b 1c 18+++;(应用)由(结论)知,()()()abc a 1b 1c 18+++,∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中,长方体的个数为()()()2342131418⨯⨯⨯+⨯+⨯+=180,故答案为为180;拓展:设正方体的每条棱上都有x 个小立方体,即a=b=c=x ,由题意得33(1)8x x +=1000, ∴[x (x+1)]3=203, ∴x (x+1)=20,∴x 1=4,x 2=-5(不合题意,舍去) ∴4×4×4=64所以组成这个正方体的小立方块的个数是64.【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律,题目较好,但有一定的难度,是一道比较容易出错的题目.5.已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k =0 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围;(2)当k 取最小整数时,求此时方程的解. 【答案】(1)k >﹣12;(2)x 1=0,x 2=﹣1. 【解析】 【分析】(1)由题意得△=(k +1)2﹣4×14k 2>0,解不等式即可求得答案; (2)根据k 取最小整数,得到k =0,列方程即可得到结论. 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k =0 有两个不相等的实数根, ∴△=(k +1)2﹣4×14k 2>0, ∴k >﹣12; (2)∵k 取最小整数, ∴k =0,∴原方程可化为x 2+x =0, ∴x 1=0,x 2=﹣1. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式△=b 2﹣4ac :当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.6.为了让学生亲身感受合肥城市的变化,蜀山中学九(1)班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动,某旅行社推出了如下收费标准:(1)如果人数不超过30人,人均旅游费用为100元;(2)如果超过30人,则每超过1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不能低于80元.该班实际共支付给旅行社3150元,问:共有多少名同学参加了研学游活动?【答案】共有35名同学参加了研学游活动. 【解析】试题分析:由该班实际共支付给旅行社3150元,可以判断出参加的人数在30人以上,等量关系为:(100﹣在30人基础上降低的人数×2)×参加人数=3150,得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可.试题解析:∵100×30=3000<3150,∴该班参加研学游活动的学生数超过30人.设九(1)班共有x人去旅游,则人均费用为[100﹣2(x﹣30)]元,由题意得:x[100﹣2(x﹣30)]=3150,整理得x2﹣80x+1575=0,解得x1=35,x2=45,当x=35时,人均旅游费用为100﹣2(35﹣30)=90>80,符合题意.当x=45时,人均旅游费用为100﹣2(45﹣30)=70<80,不符合题意,应舍去.答:该班共有35名同学参加了研学旅游活动.考点:一元二次方程的应用.7.已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k=0.(1)若该方程的一个根为1,求k的值;(2)求证:不论k取何实数,该方程总有两个实数根.【答案】(1)k=1;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)把x=1代入方程,即可求得k的值;(2)求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x=1代入方程x2﹣(k+3)x+3k=0得1﹣(k﹣3)+3k=0,1﹣k﹣3+3k=0解得k=1;(2)证明:1,(3),3a b k c k==-+=24b ac∆=-∴△=(k+3)2﹣4•3k =(k﹣3)2≥0,所以不论k取何实数,该方程总有两个实数根.【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式,熟练掌握相关知识点是解题关键. 8.某产品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种产品在未来20天内的日销售量m (单位:件)是关于时间t(单位:天)的一次函数,调研所获的部分数据如下表:这20天中,该产品每天的价格y(单位:元/件)与时间t的函数关系式为:1254y t=+(t为整数),根据以上提供的条件解决下列问题:(1)直接写出m 关于t 的函数关系式;(2)这20天中哪一天的日销售利润最大,最大的销售利润是多少?(3)在实际销售的20天中,每销售一件商品就捐赠a 元(4a <)给希望工程,通过销售记录发现,这20天中,每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大,求a 的取值范围.【答案】(1)2100m t =-+;(2)在第15天时日销售利润最大,最大利润为612.5元;(3)2.54a ≤<. 【解析】 【分析】(1)从表格可看出每天比前一天少销售2件,即可确定一次函数关系式;(2)根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式,然后根据函数性质求最大值,即可确定答案;(3)根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润,根据函数性质求a 的取值范围 【详解】(1)设该函数的解析式为:m=kx+b 由题意得:98=k b94=3k b+⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+. (2)设前20天日销售利润为W 元,由题意可知,()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21151002t t =-++()2115612.52t =--+ ∵102<,∴当15t =时,612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大,最大利润为612.5元.(3)由题意得:()1210025204W t t a ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭()211525001002t a t a =-+++-,∴对称轴为:152t a =+,∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大,且120t ≤≤, ∴15220a +≥, ∴ 2.5a ≥, ∴2.54a ≤<.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用,熟练掌握各函数的性质和图象特征,掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.9.利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息 信息1:甲乙两种商品的进货单价和为11;信息2:甲商品的零售单价比其进货单价多2元,乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元:信息3:按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元.()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少?()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件,经调查发现,甲商品零售单价每降0.1元,这样甲商品每天可多销售100件,为了使每天获取更大的利润,商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元,在不考虑其他因素的条件下,当a 定为多少时,才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元?【答案】(1)甲种商品的进货单价是5元/件,乙种商品的进货单价是6元/件(2)当a 定为0.5或1时,才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元 【解析】 【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件,乙种商品的进货单价是y 元/件,根据给定的三个信息,可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论;()2当零售单价下降a 元/件时,每天可售出()5001000a +件,根据总利润=单件利润⨯销售数量,即可得出关于a 的一元二次方程,解之即可得出结论. 【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件,乙种商品的进货单价是y 元/件,根据题意得:()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩,解得:{56x y ==.答:甲种商品的进货单价是5元/件,乙种商品的进货单价是6元/件.()2当零售单价下降a 元/件时,每天可售出()5001000a +件, 根据题意得:()()250010001500a a -+=,整理得:22310a a -+=, 解得:10.5a =,21a =.答:当a 定为0.5或1时,才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是:()1找准等量关系,正确列出二元一次方程组;()2找准等量关系,正确列出一元二次方程.10.已知:如图,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,8AC =cm ,6BC =cm.直线PE 从B 点出发,以2 cm/s 的速度向点A 方向运动,并始终与BC 平行,与线段AC 交于点E .同时,点F 从C 点出发,以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动,设运动时间为t (s) (05t <<) . (1)当t 为何值时,四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时,求出t 的值;【答案】(1)3011t =;(2)55t ±= 【解析】 【分析】(1)首先根据勾股定理计算AB 的长,再根据相似比例表示PE 的长度,再结合矩形的性质即可求得t 的值.(2)根据面积相等列出方程,求解即可. 【详解】解:(1)在Rt ABC ∆中,90,8,6C AC BC ︒∠===,22228610AB AC BC ∴=+=+=102//,,1068PA PE AE t PE AE PE BC AB BC AC -∴==∴== 34(102),(102)55PE t AE t ∴=-=-,当PE CF =时,四边形PECF 是矩形,3(102)5t t ∴-= 解得3011t = (2)由题意22424116825552t t =+=⨯⨯⨯整理得2t 550t -+=,解得52t =t ∴=,ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍。

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