二.四阶幻方的编制和补充
1 2 34 56 78 9 10 11 12 13 14 15 16
数4个的请让数4它个的们分数4别个的交数换4个的吧!
和 和 和和
=
=
==
34 34 34 34
4个数和= 34
4个数和= 34 1.我先我变是个美中丽心的点 4个数和小= 3仙4女,
我可是有魔法的 24.个数现数字中你在和2心们和我=点去33们4与相把来谁对每指关行引于
上下对开并交换 仍是一个四阶幻方
五阶幻方
幻和是：5×（52＋1）÷2＝65
1
6
2
11 24 7 20 3
16 4 12 25 8 16
21
17 5 13 21 9
22 10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
24
20
25
4 5
10
纵向切开，交换后再接起来
横切一刀，交换后再接起来
六阶幻方
分类
按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、 四阶幻方、 五阶幻方、 六阶幻方… …
按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方 偶阶幻方
幻方有多少？
可以很容易地证明，2阶幻方是 不存在的。
我国南宋时期数学家杨辉早在 1275年就给出了3—10阶的幻方。
目前，国外已经排出了105阶幻 方，我国数学家排出了125阶幻方。
幻和是：6×（62＋1）÷2＝111
六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
三阶幻方构成方法
画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
1
4
2
7
5
3
8
6
9
9
3
7
1
这种方法适用于所有的 奇阶幻方
四阶幻方
幻和是：4×（42＋1）÷2＝34
三阶幻方：三行三列，共3×3=9个数
四阶幻方：四行四列列表，如共下4：×4=16个数
1997年美国科学家发 射了两个宇宙飞船，在 飞船上为了向外星人展 示人类的文明，科学家 就选择了一张是四阶幻 方的图片。。。
数
1 2 3 4 位那么聪明的小朋友你们能不能
56
置告诉老师诀窍在那里？
7 8 有原来只有8个数的位置进行了
9 10 11 12 变15 16 化哈哈哈， 太简单了!！
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
同学们
你们现在会填四阶幻方了吗? 可我不太会,你们能教教我吗?
7 12 1 14
加 油！
那我们试一试把1到16这16个数字填 进空格里好吗？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
（1）先帮我算幻和好吗？ 幻和=（1+16）×4÷2= 34 （2）那么现在请帮我这些数
依次填进去好吗？
（3）现在来分析这个列表
幻和=34
1 2 3 4 第一行和=10 少了24
如；八阶幻方

十阶幻方

十二阶幻方
41
距
离 幻 方 中 心
九阶幻方
将 幻 方 按 图 中
的 任 何 中 心 对 称 位 置 上 两 数 和 都 为
粗 线 分 成 九 块 ， 即 为 九 个 三 阶 幻 方
82
若把上述九个三阶幻方的每个幻方的“幻和”值写在九宫格中，又构成一个新的三阶幻方
一.三阶幻方的编制和补充
5 6 7 8 第二行和=26 少了8
9 10 11 12 第三行和=42 多了8
13 14 15
第 一 对角线和=34 列 和
第第 二三 列列 和和
16 第四行和=58 多了24
第
四
列
对角线和=34
和
=40 =36 =32 =28
幻和=34
少了6 多了2 少了2 多了6
老师说：根据刚才的情况我们发现对角线上的 4个数和就是幻和，那么就让它们位置都不变。
关于幻方
幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。 是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的纵
横均有n个数，而把每行、每列、有时还包括 两条对角线的数加起来，它们的和都是相等 的，这个和叫做幻和。 幻方的幻和等于 n (n2 +1) ÷2 。 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图，或n 阶幻方。
1 9 34 33 32 2
6
31
10
27
30
7
29
8
35 28 3 4 5 36
六阶幻方
1 9 34 33 32 2 6 26 12 13 23 31 10 15 21 20 18 27 30 19 17 16 22 7 29 14 24 25 11 8 35 28 3 4 5 36
偶阶幻方 都可以照这样的方法去填
我们试着把3,4,5,6,…..18这16个数字编成一个四阶幻方.
数字依次先排好, 上下中间交叉换, 左右中间交叉换, 其他地方不要变!
3 4 5 6 42 7 8 9 10 42 11 12 13 14 42
15 16 17 18 42
42 42 42 42
所以 幻和=42
左右对开并交换， 也是一个四阶幻方
三阶幻方
幻和是：3×（32＋1）÷2＝15
相传在公元前23世纪大禹 治水的时候，在黄河支流 洛水中，浮现出一个 大 乌龟，甲上背有9种花点 的图案，献给大禹。后人 称之为“洛书”。
492
《数术记遗》注：“九宫者，二四为
3
5
7
肩，六八为足，左三右七，戴九履一，
五居中央。”
816
九宫者：乾、坎、艮、震、中、巽、离、坤、兑也！ 乾、坎、艮、震属阳，巽、离、坤、兑属阴，加上中 宫共为九宫。
每列的数字和相等 3.数字5和9谁关于
中心点相对
它就是对称交换法
数字依次先排好, 上下中间交叉换,左对右中间交叉换,其他地方不要变
以前
比
现在
12 3 4
一 下
1 15 14 4
56 7 8
了 12 6 7 9
9 10 11 12
， 哪
8 10 11 5
13 14 15 16 些 13 3 2 16
同一阶幻方，可以有多种不同的排 法，阶数越大，排法越多。如果不包 括通过旋转或反射得到的本质上相同 的幻方，我们有：
3阶幻方只有1种；
4阶幻方有880种；
5阶幻方有275305224种（约两亿七 千五百万）；
7阶幻方有363916800种（约三亿六 千四百万） ；
8阶幻方超过10亿种。