§1-3 有效数字及其运算
1. 实验过程中记录应记几位数字？ 2. 实验后，处理实验数据时数据运算后要保留几位数字？
一、有效数字
定义：测量数据中所有可靠数字加上一位可疑数字统称为有效 数字。
➢有效数字的最后一位是估读的，为可疑数字。虽然可疑数字不是
准确的，是误差所在的位，但仍反映了被测量大小的信息，所以还 是有意义的。
解：(1) 求A类不确定度
D
1 n
n i 1
Di
1 6
6 i 1
Di
3.9525 mm
测量次数为6次，查表得t0.683=1.11，
uA tp x tp
n
Di D 2
i 1
nn 1
1.11
9.50106 0.0007mm 30
(2) 求B类不确定度
螺旋测量微器的误差为正态分布，C=3
（2）测量列及测量列平均值的标准偏差
测量列的标准偏差：
x
n
xi x2
i 1
n 1
n
Vi2
i 1
n 1
测量列平均值的标准偏差：
x
n
xi x2
i 1
nn 1
x
n
（3）正态分布
概率密度函数：
f(x) 1 exp[ 1 ( x μ )]
σ 2π
2σ
正态分布曲线：
f(x)
概率含量68.3%
3.运算顺序的选择
❖函数为和与差关系------先计算绝对不确定度，后计算相
对不确定度
❖函数为积与商关系------先计算相对不确定度，后计算绝
对不确定度
❖函数为先和差后积商关系------先计算相对不确定度，后
计算绝对不确定度
❖函数为先积商后和差关系------先计算绝对不确定度，后
计算相对不确定度
2.科学记数法——标准式
❖为计算的方便，对较大或较小的数值，常用×10±n的 形式来书写（n为正整数），通常在小数点前面只写一 位数字。
例如： 321000±1000m采用科学记数为（3.21±0.01）×105m 0.0001560±0.0000001m＝（1.560±0.001）× 10-4m
用符号“E”来表示:
E ux 100% x
所取位数
0-10% 首位逢1和2：取2位有效数字 首位其它数字：取1位有效数字
10%-100%取二位
例：
用量程0~25mm，最小分度值为0.01mm，最大允差为 0.004mm的螺旋测量微器测量钢丝的直径6次，数据如下 ：D(mm):3.953,3.953,3.950,3.954,3.952,3.953, 求直径的 A,B类不确定度，并完整表示不确定度测量结果。
2
2.58
3
误差分布与置信系数C的关系
仪器名称 米尺 游标卡尺 千分尺 物理天平 秒表
误差分布 正态分布 均匀分布 正态分布 正态分布 正态分布
C
3
3
3
3
3
1）不确定度是正态分布或近似高斯分布
uB
仪 3
P = 68.3%
2）均匀分布
uB
仪 3
P = 68.3%
3）三角形分布
uB
仪 6
P = 68.3%
1.直接测量与间接测量
凡是可以直接用计量仪器和测量量进行比较，便可获得测
量结果的，该测量属于直接测量。
如：米尺测长度、温度计测温度......
凡是通过与被测量有函数关系的其他量，才得到被测量量
值的测量，称为间接测量。
如：电功率......
1.直接测量与间接测量是相对的。 2.直接测量是测量的基础。
➢估读位前的几位数字都为可靠数字。
1.有效数字的认定
1）在测量数据中1、2、……9九个数字，每个数字都为有 效数字。
2）“0”是特殊数字，其认定应注意以下几种情况：
❖数字间的“0”为有效数字 ❖数字后的“0”为有效数字 ❖数字前的“0”不是有效数字，表示数量级大小
注意：在测量时，数据不能任意多写或少写，即便是“0”也一
UN N
ln f x1
U x1
ln f x2
U x2
ln f x3
U x3
ln f xn
U xn
例如： N=A+B
N=AB
算术合成的不确定度传递公式简单 但得到的是可能的最大偏差
2.常用函数不确定度的几何合成
绝对不确定度传递公式:
2
2
2
UN
f x1
U
x1
f x2
U
x2
f xn
U
xn
相对不确定度传递公式:
二、直接测量标准不确定度的A类评定
1.用贝塞尔公式求标准偏差
x
n
xi x2
i 1
n 1
n
Vi 2
i 1
n 1
2. 求测量列平均值的标准偏差
x
n
xi x2
i 1
nn 1
x
n
当测量次数足够多时，测量值分布满足正态分布 f(x)
置信概率68.3%
x
x x
但实验测量中，次数有限所以测量值不满足正态分布， 而是遵循t分布。
实验测量不确定度与数据处理
大学物理实验
主要内容
§1-1 实验测量的基本知识 §1-2 实验测量不确定度的评定 §1-3 有效数字及其运算 §1-4 实验测量数据的处理
§1-1 测量的基本知识
一、物理测量的基本概念
运用各种物理仪器和物理方法把待测未知量与已知标准 单位同类量作比较，即待测量是该计量单位的多少倍。
大多数的测量结果不但有数值而且有单位。
8·16光大证券乌龙指事件 程序把买入24个成分股，写成了买入24组180ETF成分股，结 果生成巨量订单。 2002年11月，一名经纪人看错了爱尔兰低价航空公司Ryanair 的股票价格的货币单位，把先令和欧元弄混，结果该股票在伦 敦市场的报价上涨了61%，从404.5先令上升到653.7先令。
E(x)
x p x是连续的 ii
i 1
概率
其中， pi 1
i1
E(x) xf (x)dx
概率密度函数
算术平均值与数学期望
数学期望E(x)与算术平均值有紧密联系，都是反映随机变量x 的“平均特征”这一统计特征，但它们又有质的差别， E(x) 是一个客观存在的理论值，而算术平均值是一个试验值，具 有随机性。
样。
3）有效数字的位数计算，从第一位不是“0”的数字至 最后一位。
4）在十进制单位中，有效数字的位数与十进制单位的变 化无关。 例如：某长为1.34cm，有效数字为3位 1.34cm=13.4mm=0.0134m（只是单位变）
5）有效数字的位数多少，在一定程度上反映测量结果的 准确度。
▪有效数字位数越多－相对误差越小，准确度越大 ▪有效数字位数越少－相对误差越大，准确度越小
准确、不精密
精确
不精确
5.仪器的准确度等级与仪器的公差
选择测量仪器应考虑：准确度等级、测量范围、实际 测量量对精度的要求等。
仪器的精密度：仪器的最小读数。最小读数的数值越 小，仪器的精密度越高，误差越小。
测量结果的精密度和准确度与测量仪器的精确度等级 密切相关。
仪器的公差：Δ仪
游标卡尺：出厂公差就是该游标卡尺类精密度。 指针式电表：Δ仪 = Amα% 数字式仪表：Δ仪 = K%V + ND
❖测量值末位与不确定度末位相对齐来确定。对保留数
字末位采用“4舍6入，5凑偶”规则。
如：测量结果平均值为2.1445 cm，其标准不确定度计
算为0.0124 cm，则测量结果为：2.144±0.013 cm
❖不确定度的其它表示:
相对不确定度：没有单位，用百分数表示，它更能反 映测量的准确程度
x 定义：表示不确定度ux在整个测量值 中所占百分比，
2
2
2
UN N
ln f x1
U x1
ln x2
f
U x2
ln f xn
U xn
例如： N=A+B
N=AB
不确定度传递公式应按下列步骤进行：
（1）对函数求全微分（乘除时或先对函数取自 然对数，再求全微分）；
（2）合并同一变量的系数；
（3）将微分号改为不确定度符号，求各项的绝 对值之和（算术合成），或求各项的平方再 开方（几何合成）。
uB
仪 3
0.004 3
0.0014mm
(3) 不确定度的合成
U
u
2 A
uB2
0.00072 0.00142 0.0016mm
测量结果的不确定度表示:
D D U D 3.9525 0.0016mm ( p 0.68)
相对不确定度:
ED
U D
100%
0.0016 3.9525
100%
0.05%
tvp
x
tvp
x
n
注意：对于不同的置信概率p，具有不同的A类不确定度。
三、直接测量标准不确定度的B类评定
直接测量量不确定度B类评定为：
uB
kp
仪 C
置信概率p与置信因子kp的关系表
p 0.500 0.683 0.900 0.950 0.955 0.990 0.997
kp 0.675
1
1.65 1.962.等源自度测量和不等精度测量由同一观察者用同一仪器、同一方法、同一环境测量n次 ，所得测量值为x1、x2….xn，则把这样在同一种条件下的
重复测量称为等精度测量。
在不同条件（观察者、仪器、方法、环境）下的重复测量
称为不等精度测量。
3.重复测量和单次测量