《概率论与数理统计》习题及答案第 八 章1．设12,,,n X X X L 是从总体X 中抽出的样本，假设X 服从参数为λ的指数分布，λ未知，给定00λ>和显著性水平(01)αα<<，试求假设00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域.解 00:H λλ≥ 选统计量 200122nii XnX χλλ===∑记212nii Xχλ==∑%则22~(2)n χχ%，对于给定的显著性水平α，查2χ分布表求出临界值2(2)n αχ，使22((2))P n αχχα≥=% 因 22χχ>%，所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥⊃≥%，从而 2222{(2)}{(2)}P n P n αααχχχχ=≥≥≥% 可见00:H λλ≥的否定域为22(2)n αχχ≥.2．某种零件的尺寸方差为21.21σ=，对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：, , , , , 。
设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是毫米（0.05α=）.解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ=0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中29.4632.502.45 6.771.1X u -==⨯=-0.0251.96u =，因|| 6.77 1.96u =>，所以否定0H ，即不能认为平均尺寸是毫米。
3．设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为100σ=，今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平0.05α=下，能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600。
解 问题是在2σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥0H 的否定域为/2u u α<-，其中 158016005.1 1.02100X u -==⨯=-.0.051.64u -=-.因为0.051.02 1.64u u =->-=-，所以接受0H ，即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600.4．一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布，问这批元件是否合格（0.05α=）解 设元件寿命为X ，则2~(,100)X N μ，问题是检验假设0:1000H μ≥. 0H 的否定域为0.05u u ≤-，其中95010005 2.5100X u -==⨯=-0.05 1.64u = 因为0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ，即元件不合格.5．某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X ： 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=解 问题是在2σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=0H 的否定域为 /2||(4)t t α>522113.252,(5)0.00017,0.0134i i X S X X S ===-⨯==∑0.005(4) 4.6041t =3.252 3.252.240.3450.013X t -==⨯=因为0.005||0.345 4.6041(4)t t =<= 所以接受0H ，即可以认为这批矿砂的镍含量为.6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下： 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5 问该日打包机工作是否正常（0.05α=；已知包重服从正态分布）解 99.98X =，92211(()) 1.478i i S X X ==-=∑， 1.21S =，问题是检验假设0:100H μ= 0H 的否定域为/2||(8)t t α≥. 其中99.9810030.051.21X t -==⨯=-0.025(8) 2.306t =因为0.025||0.05 2.306(8)t t =<= 所以接受0H ，即该日打包机工作正常.7．按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C 的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C 的含量（单位：毫克）如下22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.已知维生素C 的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。
(0.025)α=解 设X 为维生素C 的含量，则2~(,)X N μσ，220,419.625X S ==，20.485S =，17n =. 问题是检验假设0:21.H μ≥（1）0:21H μ≥.（2）选择统计量t 并计算其值：0.20X t ===- （3）对于给定的0.025α=查t 分布表求出临界值0.025()(16) 2.2t n t α==.（4）因为0.025(16) 2.200.20t t -=-<-=。
所以接受0H ，即认为维生素含量合格.8．某种合金弦的抗拉强度2~(,)X N μσ，由过去的经验知10560μ≤（公斤/厘米2），今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下：10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670. 问这批弦线的抗拉强度是否提高了（0.05α=）解 10631.4X =，26558.89S =，80.99S =，10n =. 问题是检验假设0:10560H μ≤ （1）0:10560H μ≤. （2）选统计量并计算其值.X t ==2.772=（3）对于0.05α=，查t 分布表，得临界值0.05(9)(9) 1.833t t α==.（4）因0.05(9) 1.833 2.772t t =<=，故否定0H 即认为抗拉强度提高了。
9．从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得0.025S =，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的20.0004σ=有无显著差别（0.05α=，椭圆度服从正态分布）。
解 20.025,0.00065,15S S n ===，问题是检验假设20:0.0004H σ=.（1）2200:0.0004H σσ==.（2）选统计量2χ并计算其值2220(1)140.0006522.750.0004n S χσ-⨯===（3）对于给定的0.05α=，查2χ分布表得临界值222/20.0251/2(14)(14)26.119,(14)ααχχχ-==20.975(14) 5.629χ==. （4）因为2220.9750.0255.62922.7526.119χχχ=<=<=所以接受0H ，即总体方差与规定的20.0004σ=无显著差异。
10．从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为42，65，75，78，71，59，57，68，54，55.问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80（0.05α=，熔化时间服从正态分布）.解 62.4X =，2121.82,10,S n == 问题是检验假设20:80H σ≤.（1）2200:80H σσ≤=；（2）选统计量2χ并计算其值2220(1)9121.8213.70580n S χσ-⨯===（3）对于给定的0.05α=，查2χ分布表得临界值220.05(1)(9)16.919n αχχ-==.（4）因220.0513.70516.919χχ=<=，故接受0H ，即可以认为方差不大于80。
11．对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下 第一种 138，127，134，125；第二种 134，137，135，140，130，134.问是否一种羊毛较另一种好设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。
(0.05)α=解 设第一、二种织品的强度分别为X 和Y ，则21~(,),X N μσ22~(,)Y N μσ211131,36.667,4X S n ===222135,35.2,6Y S n ===问题是检验假设012:H μμ= （1）012:H μμ=（2）选统计量T 并计算其值.T ==1.295=-（3）对于给定的0.05α=，查t 分布表得临界值/212(2)t n n α+-0.025(8) 2.3069t ==.（4）因为0.025|| 1.295 2.3069(8)t t =<=，所以接受假设，即不能说一种羊毛较另一种好。
12．在20块条件相同的土地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地，其产量（公斤）分别为 旧品种 , , , , , , , , , ; 新品种 , , , , , , , , , ;设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等），问新品种的产量是否高于旧品种（0.01α=）解 设X 为新品种产量，Y 为旧品种产量；21~(,)X N μσ，22~(,)Y N μσ，问题是检验假设012:H μμ≥79.43X =，21 2.2246S =，110n = 76.23Y =，22 3.3245S =，210n =选统计量T 并计算其值：T =4.2956==对给定的0.01α=，查t 分布表得临界值0.01(18)(18) 2.5524t t α==. 因为0.014.2956 2.5524(18)T t =>-=-故接受0H ，即新品种高于旧品种. 13．两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得22120.345,0.357S S ==，假定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异(0.05)α= 解 2110.345,6,S n == 2220.357,9S n ==问题是检验假设22012:H σσ=选统计量F 并计算其值21220.3450.96640.357S F S ===对给定的0.05α=查F 分布表得临界值/20.025(5,8)(5,8) 4.65F F α==，0.9751(5,8)0.14796.76F ==. 因 0.9750.025(5,8)0.14790.9664 4.65(5,8)F F F =<=<=故接受0H ，即无显著差异.13．甲、乙两台机床加工同样产品，从它们加工的产品中各抽取若干，测得直径（单位：mm ）为 甲：, , , , , , , ; 乙：, , , , , , .问甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异（0.05α=，产品直径服从正态分布。
）解 设甲加工的直径为X ，乙为Y . 211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ. 19.925X =，210.2164S =，18n =20Y =， 220.3967S =，27n =问题是检验假设22012:H σσ=选统计量F 并计算其值 120.21640.54550.3967S F S ===. 对于给定的0.05α=，查F 分布表得临界值/20.025(7,6)(7,6) 5.70F F α==，0.9751(7,6)0.19535.12F == 因0.9750.025(7,6)0.19530.5455(7,6) 5.70F F F =<=<=，故接受0H ，即精度无显著差异.14．一颗骰子掷了120次，得下列结果：问骰子是否匀称（0.05α=）解 用X 表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为1，2，3，4，5，6。