2019-2020 年八年级上册月考数学试卷含答案解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1．如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的()A ．轴对称性B ．用字母表示数C ．随机性D ．数形结合2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是 ()A ．（ a+5）（ a ﹣ 5）=a 2﹣ 25B ． a 2﹣ b 2=（a+b ）（ a ﹣b ）C ．（ a+b ） 2﹣ 1=a 2+2ab+b 2﹣ 1D ．a 2﹣ 4a ﹣ 5=a （ a ﹣ 4）﹣ 5 3．若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是 ()A ． 10B ． 11C ． 12D ． 134．现有 2cm ，4cm ， 5cm ， 8cm ，9cm 长的五根木棒，任意选取三根组成一个三角形，选法 种数有 ()A ． 3 种B ． 4 种C ． 5 种D ． 6 种5．如图，∠ A=50 °，P 是等腰 △ABC 内一点，且∠ PBC= ∠PCA ，则∠ BPC 为 ()A ． 100°B ． 140°C ． 130°D ． 115°6．下列各式计算正确的是 ( )7 2 9 7 2 14 2 3 53 3 3A ．（ a ）=a B ．a ?a =a C ． 2a +3a =5aD ．（ ab ） =a b7．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠ 1=30°，∠ 2=50 °，则∠ 3 的度数等于()A ． 20°B ． 30°C ． 50°D ． 55°8．如图，△ ABC 的两条角平分线BD 、CE 交于 O，且∠ A=60 °，则下列结论中不正确的是()A ．∠ BOC=120 °B． BC=BE+CD C． OD=OE D．OB=OC9．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠ 2=( )A ． 90° B． 100°C． 130°D． 180°10．如图，△ ABC 是等边三角形，AD 是∠ BAC 的平分线，△ ADE 是等边三角形，下列结论：① AD ⊥BC；② EF=FD ；③ BE=BD ．其中正确的个数有()A ． 3 个 B． 2 个C． 1 个D． 0 个二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）x y+1， 27 y x﹣ 111．已知 2 =4 =3 ，则 x﹣ y 的值为 __________ ．12．如图， AC 、 BD 相交于点 O，∠ A= ∠ D，请补充一个条件，使△AOB ≌△ DOC ，你补充的条件是 __________ （填出一个即可）．13．仔细观察三角系数表，按规律写出（a+b）2展开式所缺的系数（a+b） =a+b（a+b ） 2 2 2=a +2ab+b（a+b ） 3=a 3+3a 2 b+3ab 2+b3 （a+b ）4=a 4+4a 3 b+__________a 2b 2+4ab 2+b 4．14．已知 x=y+95 ，则代数式 x 2 ﹣2xy+y 2﹣ 25=__________ ．15．已知∠ AOB=30 °，点 P 在∠ AOB 内部， P 1 与 P 关于 OB 对称， P 2 与 P 关于 OA 对称，则P 1， O ， P 2 三点构成的三角形是 __________三角形．16．如图，在直角三角形 ABC 中，∠ C=90 °， AC=10cm ， BC=5cm ，一条线段 PQ=AB ，P 、 Q两点分别在 AC 和 AC 的垂线 AX 上移动，则当 AP=__________ 时，才能使 △ABC 和△ APQ 全等．三、解答题（共 8 小题，满分 72 分） 17．分解因式（ 1）﹣ x 3﹣2x 2﹣ x（ 2） 1﹣ a 2﹣4b 2+4ab ．18．先化简，再求值2 2 3） ÷b ﹣（ a+b ）（ a ﹣ b ），其中 a= ， b= ﹣1． （1）（ a b ﹣ 2ab ﹣ b （2） 6x 2﹣（ 2x ﹣ 1 ）（3x ﹣ 2）+（ x+2 ）（x ﹣ 2），其中 x=3．19．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形） ABC 的顶点 A ，C 的坐标分别为（﹣ 4， 5），（﹣ 1，3）．（ 1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；（ 2）作出 △ ABC 关于 y 轴对称的 △ A ′B ′C ′，并写出点 B ′的坐标；（3） P 是 x 轴上的动点，在图中找出使△ A ′BP 周长最短时的点P ，直接写出点 P 的坐标．20．已知 x+y=1 ， xy= ﹣ 12，求 x 2+y 2和 x ﹣y 的值．21．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 ① 所示放置，图 ② 是由它抽象出的几何图形， B ，C ， E 在同一条直线上，连接 DC ， （1）请找出图 ② 中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ；（2）试说明： DC ⊥ BE ．22．如图：（1） P 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的一个动点，过点 P 作 BC 的垂线，交 AB 于点 Q ，交 CA 的延长线于点 R ．请观察 AR 与 AQ ，它们有何关系？并证明你的猜想．（ 2）如果点 P 沿着底边 BC 所在的直线， 按由 C 向 B 的方向运动到 CB 的延长线上时，（ 1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．23．如图，四边形 ABCD 中，∠ DAB= ∠ABC=90 °， AB=BC ， E 是 AB 的中点， CE ⊥ BD ．（ 1）求证： BE=AD ； （ 2）求证： AC 是线段 ED 的垂直平分线；（ 3） △ DBC 是等腰三角形吗？并说明理由．24．如图①，在 Rt△ ACB 中，∠ ACB=90 °，∠ ABC=30 °， AC=1 ，点 D 为 AC 上一动点，连接 BD ，以 BD 为边作等边△ BDE ，设 CD=n．（1）当 n=1 时， EA 的延长线交 BC 的延长线于 F，则 AF=__________ ；（2）当 0＜ n＜ 1 时，如图②，在 BA 上截取 BH=AD ，连接 EH．①设∠ CBD=x ，用含 x 的式子表示∠ADE 和∠ ABE ．②求证：△AEH 为等边三角形．一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1．如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的()A ．轴对称性B ．用字母表示数C ．随机性D ．数形结合【考点】 生活中的轴对称现象．【分析】 根据轴对称的定义可以得出，数学美体现在蝴蝶图案的对称性．【解答】 解：用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的对称性． 故选： A ．【点评】 此题主要考查了轴对称的应用， 根据图形得出一种数学美， 有利于同学们的生活的喜爱以及数学与生活之间的联系．2．下列各式从左到右的变形是因式分解的是 ()A ．（ a+5）（ a ﹣ 5）=a 2﹣ 25B ． a 2﹣ b 2=（a+b ）（ a ﹣b ）C ．（ a+b ） 2﹣ 1=a 2+2ab+b 2﹣ 1D ．a 2﹣ 4a ﹣ 5=a （ a ﹣ 4）﹣ 5【考点】 因式分解的意义．【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】 解： A 、是整式的乘法，故 A 错误； B 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 B 正确； C 、是整式的乘法，故 C 错误；D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误；故选： B ．【点评】 本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．3．若一个多边形的每个内角都等于 150°，则这个多边形的边数是()A ． 10B ． 11C ． 12D ． 13 【考点】 多边形内角与外角．【分析】 根据多边形的内角和定理： 180°?（n ﹣ 2）求解即可．【解答】 解：由题意可得： 180°?（n ﹣ 2）=150 °?n ，解得 n=12．故多边形是 12 边形． 故选 C ．【点评】 主要考查了多边形的内角和定理．n 边形的内角和为： 180°?（n ﹣ 2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．4．现有 2cm，4cm， 5cm， 8cm，9cm 长的五根木棒，任意选取三根组成一个三角形，选法种数有 ()A ． 3 种 B． 4 种C． 5 种D． 6 种【考点】三角形三边关系．【分析】先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【解答】解：其中的任意三条组合有：2cm、4cm、 5cm； 2cm、 4cm、 9cm；2cm、4cm、 8cm； 2cm、 5cm、 9cm；2cm、5cm、 8cm； 2cm、 9cm、 8cm；4cm、5cm、 9cm； 4cm、 5cm、 8 cm；4cm、9cm、 8cm； 5cm、 9cm、 8cm 十种情况．根据三角形的三边关系，其中的2cm、4cm、 5cm；2cm、5cm、 9cm；2cm、9cm、 8cm；4cm、5cm、 8 cm；4cm、9cm、 8cm； 5cm、 9cm、 8cm 能构成三角形．故选 D ．【点评】此题考查了三角形的三边关系．关键是掌握判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．5．如图，∠ A=50 °，P 是等腰△ABC 内一点，且∠ PBC= ∠PCA ，则∠ BPC 为 ()A． 100°B． 140°C． 130°D． 115°【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ ACB ，然后求出∠ PCB+ ∠PBC= ∠ ACB ，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵∠ A=50 °，△ABC 是等腰三角形，∴∠ ACB=（180°﹣∠A）=（180°﹣50）=65°，∵∠ PBC=∠ PCA ，∴∠ PCB+∠ PBC=∠ PCB+∠ PCA= ∠ ACB=65 °，∴∠ BPC=180°﹣（∠ PCB+ ∠PBC） =180 °﹣ 65°=115°．故选 D ．【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，准确识图并求出∠PCB+ ∠ PBC 是解题的关键．6．下列各式计算正确的是( )A ．（ a7）2=a9 B．a7?a2=a14 C． 2a2+3a3=5a5 D．（ ab）3=a3b3【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【专题】计算题．【分析】 A 、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；B、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式不能合并，错误；D、利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．7214【解答】解： A 、（ a ） =a，本选项错误；729B、 a ?a =a ，本选项错误；C、本选项不能合并，错误；3 3 3D、（ ab） =a b ，本选项正确，【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．1=30°，∠ 2=50 °，则∠ 3 的度数等7．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠于()A ． 20° B． 30° C． 50° D． 55°【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】先根据平行线的性质求出∠ 4 的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠2=50°，∴∠ 4=∠ 2=50°．∵∠ 1=30°，∴∠ 3=∠ 4﹣∠ 1=50°﹣ 30°=20°．故选 A ．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．8．如图，△ ABC 的两条角平分线BD 、CE 交于 O，且∠ A=60 °，则下列结论中不正确的是()A ．∠ BOC=120 ° B． BC=BE+CD C． OD=OE D．OB=OC【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ ABC+ ∠ ACB=120 °，再根据角平分线的性质求出∠ OBC+ ∠ OCB=60 °，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可求出∠ BOC 的度数；连接 OA ，作 OF⊥AB 于点 F，OG ⊥ AC 于点 G，OH ⊥BC 于点 H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OF=OG=OH ，从而可得△BOF 和△BOH 全等，△ COG 和△ COH 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=BF ， CH=CG ，再根据四边形的内角和求出∠FOG=120 °，根据对顶角相等求出∠EOD=120 °，然后推出∠ EOF=∠ DOG ，再利用“角边角”证明△ EOF 和△ DOG 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DG ， OD=OE ，即可判定出 B 、C 选项都正确，根据等角对等边的性质，只有∠ABC= ∠ ACB 时才能得到 OB=OC ，所以 D 选项错误．【解答】解：∵∠ A=60 °，∴∠ ABC+ ∠ ACB=180 °﹣∠ A=180 °﹣ 60°=120°，∵△ ABC 的两条角平分线BD 、CE 交于 O，∴∠ OBC= ∠ ABC ，∠ OCB= ∠ ACB ，∠ACB ） =120°，故 A 选项正确；∴∠ BOC=180 °﹣（∠OBC+ ∠ OCB ） =180°﹣（∠ABC+如图，连接OA ，作 OF⊥ AB 于点 F， OG ⊥ AC 于点 G， OH⊥BC 于点 H，∵△ ABC 的两条角平分线BD 、CE 交于 O，∴OF=OG=OH ，利用“HL ”可得△ BOF≌△ BOH ，△ COG≌△ COH ，∴B H=BF ， CH=CG ，在四边形 AFOG 中，∠ FOG=360 °﹣ 60°﹣ 90°×2=120°，∴DOG= ∠ FOG﹣∠ DOF=120 °﹣∠ DOF，又∵∠ EOD= ∠ BOC=120 °，∴∠ EOF=∠ EOD﹣∠ DOF=120 °﹣∠ DOF ，∴∠ EOF=∠ DOG ，在△ EOF 和△DOG 中，，∴△ EOF≌△ DOG （ ASA ），∴EF=DG ， OD=OE ，故 C 选项正确；∴BC=BH+CH=BF+CG=BE+EF+CD ﹣ DG=BE+CD ，即 BC=BE+CD ，故 B 选项正确；只有当∠ ABC= ∠ ACB 时，∵△ ABC 的两条角平分线BD 、 CE 交于 O，∴∠ OBC= ∠ ABC ，∠ OCB= ∠ ACB ，∴∠ OBC= ∠ OCB，∴OB=OC ，而本题无法得到∠ABC= ∠ ACB ，所以， OB=OC 不正确，故 D 选项错误．故选 D ．【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，并根据∠A=60 °推出，∠ FOG= ∠ EOD=120 °，从而证明得到∠ EOF= ∠ DOG 是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点．9．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠ 1+∠ 2=()A ． 90° B． 100°C． 130°D． 180°【考点】三角形内角和定理．【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如图，∠ BAC=180 °﹣ 90°﹣∠ 1=90°﹣∠ 1，∠A BC=180 °﹣60°﹣∠ 3=120°﹣∠ 3，∠A CB=180 °﹣60°﹣∠ 2=120°﹣∠ 2，在△ ABC 中，∠ BAC+ ∠ ABC+ ∠ ACB=180 °，∴90°﹣∠ 1+120°﹣∠ 3+120 °﹣∠2=180 °，∴∠ 1+∠ 2=150°﹣∠ 3，∵∠ 3=50°，∴∠ 1+∠ 2=150°﹣50°=100°．故选： B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠ 2、∠ 3 表示出△ ABC 的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．10．如图，△ ABC 是等边三角形，AD 是∠ BAC 的平分线，△ ADE 是等边三角形，下列结论：① AD ⊥BC；② EF=FD ；③ BE=BD ．其中正确的个数有()A ． 3 个 B． 2 个C． 1 个D． 0 个【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形性质得出AB=AC ，根据三线合一定理得出① 正确；求出△BAE ≌△ CAD ，推出 BE=DC=BD ，∠ DAC= ∠ BAE=30 °，求出∠ BAE= ∠ BAD ，根据三线合一得出 EF=DF ．【解答】解：∵△ ABC 是等边三角形，∴A B=AC ，∵AD 是∠ BAC 的平分线，∴AD ⊥ BC ， BD=DC ，∴∠ ADC=90 °，∵△ ABC 和△ ADE 是等边三角形，∴A E=AD ， AB=AC ，∠ EAD= ∠BAC=60 °，∴∠ EAD ﹣∠ BAD= ∠ BAC ﹣∠ BAD ，∴∠ BAE= ∠DAC ，在△ BAE 和△ CAD 中，，∴△ BAE ≌△ CAD （ SAS），∴∠ DAC= ∠ BAE ， BE=DC ，∵BD=DC ，∴B E=BD ，∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ BAC=60 °，∵AD 是∠ BAC 的平分线，∴∠ DAC=30 °，∴∠ BAE=30 °，∵△ ADE 是等边三角形，∴∠ DAE=60 °，∴∠ BAD=30 °=∠ BAE ，∵A E=AD ，∴EF=DF （三线合一），即①②③都正确，故选 A ．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11．已知 x y+1 ， 27 y x ﹣ 12 =4 =3，则 x ﹣ y 的值为 3．【考点】 幂的乘方与积的乘方．【分析】 直接利用幂的乘方运算性质将原式变形，进而得出关于x ， y 的等式求出答案．【解答】 解：∵ 2 xy+1 2y+2，27 y3y x ﹣ 1，=4 =2 =3 =3∴，解得：则 x ﹣ y=4 ﹣1=3 ． 故答案为： 3．【点评】 此题主要考查了幂的乘方运算以及二元一次方程组的解法，正确得出关于 x ， y 的方程组是解题关键．12．如图， 充的条件是AC 、 BD 相交于点 O ，∠ A= ∠ D ，请补充一个条件，使AB=CD （答案不唯一） （填出一个即可） ．△AOB ≌△ DOC ，你补【考点】 全等三角形的判定． 【专题】 开放型．【分析】 添加条件是 AB=CD ，根据 AAS 推出两三角形全等即可． 【解答】 解： AB=CD ，理由是：∵在 △ AOB 和 △DOC 中∴△ AOB ≌△ DOC （ AAS ）， 故答案为： AB=CD （答案不唯一） ． 【点评】 本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ， SSS ，题目是一道开放型的题目，答案不唯一． 13．仔细观察三角系数表，按规律写出（ a+b ） 2展开式所缺的系数（ a +b ） =a+b（ a +b ） 2=a 2+2ab+b 2（a+b ） 33223=a +3a b+3ab +b（a+b ）4=a 4+4a 3 b+6a 2b 2+4ab 2+b 4．【考点】 完全平方公式． 【专题】 规律型．【分析】根据杨辉三角， 下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可．【解答】 解：∵（ a+b ）=a+b（a+b ） 2=a 2+2ab+b2（a+b ） 3=a 3+3a 2 b+3ab 2+b3∴（ a+b ） 4=a 4 +4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4．故答案为： 6a+b ）n展开后，各项是按 a 的降幂排列的，系【点评】 本题考查了完全平方公式，能发现（数依次是从左到右 （ a+b ）n ﹣1系数之和．它的两端都是由数字 1 组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．2214．已知 x=y+95 ，则代数式 x ﹣2xy+y ﹣ 25=9000 ． 【专题】 计算题；因式分解．【分析】 原式前三项利用完全平方公式分解，将已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】 解：∵ x=y+95 ，即 x ﹣y=95 ，2∴原式 =（ x ﹣ y ） ﹣ 25=9025 ﹣ 25=9000，【点评】 此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．已知∠ AOB=30 °，点 P 在∠ AOB 内部， P 1 与 P 关于 OB 对称， P 2 与 P 关于 OA 对称，则 P 1， O ， P 2 三点构成的三角形是等边三角形．【考点】 轴对称的性质；等边三角形的判定．【分析】 作出图形，连接 OP ，根据轴对称的性质可得 OP 1=OP=OP 2，∠ BOP= ∠ BOP 1， ∠AOP= ∠ AOP ，然后求出∠ P OP =2∠ AOB=60 ° 60°212，再根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定．【解答】 解：如图，连接 OP ，∵P 1 与 P 关于 OB 对称， P 2 与 P 关于 OA 对称，∴OP 1=OP ， OP=OP 2，∠ BOP= ∠BOP 1，∠ AOP= ∠AOP 2，∴OP 1=OP 2 ，∠P 1OP 2=∠ BOP+ ∠ BOP 1+∠ AOP+ ∠ AOP 2=2∠ BOP+2∠ AOP=2 ∠ AOB ， ∵∠ AOB=30 °， ∴∠ P 1OP 2=60°， ∴△ P 1OP 2 是等边三角形．故答案为：等边．【点评】本题考查了轴对称的性质， 等边三角形的判定， 熟练掌握轴对称的性质求出 △ P 1OP 2 的两边相等且有一个角是 60°是解题的关键，作出图形更形象直观．16．如图，在直角三角形 ABC 中，∠ C=90 °， AC=10cm ， BC=5cm ，一条线段 PQ=AB ，P 、 Q 两点分别在 AC 和 AC 的垂线 AX 上移动，则当 AP=5cm 或 10cm 时，才能使 △ ABC 和 △APQ 全等．【考点】 全等三角形的判定．【分析】 本题要分情况讨论： ① Rt △ APQ ≌Rt △ CBA ，此时 AP=BC=5cm ，可据此求出P点的位置；② Rt △ QAP ≌Rt △ BCA ，此时 AP=AC ，P 、 C 重合．【解答】 解：∵ PQ=AB ，∴根据三角形全等的判定方法 HL 可知，① 当 P 运动到 AP=BC 时， △ABC ≌△ QPA ，即 AP=BC=5cm ； ② 当 P 运动到与 C 点重合时， △ QAP ≌△ BCA ，即 AP=AC=10cm ． 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS 、SAS 、ASA 、 HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．三、解答题（共 8 小题，满分 72 分）17．分解因式（ 1）﹣ x 3﹣2x 2﹣ x（ 2） 1﹣ a 2﹣4b 2+4ab ．【考点】 提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-分组分解法．【分析】（ 1）先提取公因式﹣ x ，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式： a 2±2ab+b 2=（ a ±b ） 2；（2）先后面三项根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式即可求解；322=﹣x （ x +2x+1 ）（ 2） 1﹣ a 2﹣4b 2+4ab22=1﹣（ a ﹣ 4ab+4b ）=（1+a ﹣ 2b ）（ 1﹣ a+2b ）．【点评】本题考查了提公因式法， 公式法分解因式， 提取公因式后利用公式法进行二次分解，注意分解要彻底．18．先化简，再求值（1）（ a 2b ﹣ 2ab 2﹣ b 3） ÷b ﹣（ a+b ）（ a ﹣ b ），其中 a= ， b= ﹣1．（ 2） 6x 2﹣（ 2x ﹣ 1）（3x ﹣ 2）+（ x+2 ）（x ﹣ 2），其中 x=3．【考点】 整式的混合运算 —化简求值．【分析】（ 1）先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可；（ 2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】 解：（ 1）（ a 2b ﹣ 2ab 2﹣ b 3）÷b ﹣（ a+b ）（ a ﹣ b ） =a 2﹣ 2ab ﹣ b 2﹣a 2+b 2 =﹣2ab ，当 a= ，b=﹣ 1 时，原式 =﹣ 2× ×（﹣ 1） =2；（ 2） 6x 2﹣（ 2x ﹣ 1）（3x ﹣ 2）+（ x+2 ）（x ﹣ 2）=6x 2﹣ 6x 2+4x+3x ﹣ 2+x 2﹣ 4 =x 2+7x ﹣ 6， 2当 x=3 时，原式 =3+7×3﹣ 6=24．【点评】 本题考查了整式的混合运算和求值的应用， 能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．19．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形） ABC 的顶点 A ，C 的坐标分别为（﹣ 4， 5），（﹣ 1，3）．（ 1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；（ 2）作出 △ ABC 关于 y 轴对称的 △ A ′B ′C ′，并写出点 B ′的坐标；（3） P 是 x 轴上的动点，在图中找出使△ A ′BP 周长最短时的点P ，直接写出点 P 的坐标．【考点】 作图 -轴对称变换；轴对称 -最短路线问题． 【分析】（ 1）根据点 A ，C 的坐标建立平面直角坐标系即可；（2 ）作出各点关于 y 轴的对称点，再顺次连接即可；（3 ）作点 B 关于 x 轴的对称点 B 1，连接 A ′B 1 交 x 轴于点 P ，利用待定系数法求出直线 A ′B 1 的解析式，进而可得出 P 点坐标． 【解答】 解：（ 1）如图所示；（ 2）由图可知， B ′（2， 1）； （ 3）如图所示，点 P 即为所求点，设直线 A ′B 1 的解析式为 y=kx+b（ k ≠0）， ∵A ′（ 4， 5）， B 1 （﹣ 2，﹣ 1），∴，解得 ，∴直线 A ′B 1 的解析式为y=x+1 ．∵当 y=0 时， x+1=0 ，解得 x= ﹣1， ∴P （﹣ 1， 0）．【点评】 本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．20．已知 x+y=1 ， xy= ﹣ 12，求 x 2+y 2和 x ﹣y 的值．【考点】 完全平方公式；平方差公式．【分析】 直接利用完全平方公式结合已知将原式变形求出答案．【解答】 解：∵ x+y=1 ， xy= ﹣ 12，∴（ x+y ）2=1，则 x 2+y 2+2xy=1 ，22故 x +y =1 ﹣（﹣ 24）=25 ，（ x ﹣ y ） 2=x 2+y 2﹣ 2xy=25 ﹣ 2×（﹣ 12） =49， 故 x ﹣ y= ±7．【点评】 此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．21．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 ① 所示放置，图 ② 是由它抽象出的几何图形， B ，C ， E 在同一条直线上，连接 DC ，（1）请找出图 ② 中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）（2）试说明： DC ⊥ BE ．；【考点】 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质． 【专题】 证明题．【分析】 ① 可以找出 △BAE ≌△ CAD ，条件是 AB=AC ， DA=EA ，∠ B AE= ∠ DAC=90 °+∠CAE ．② 由① 可得出∠ DCA= ∠ ABC=45 °，则∠ BCD=90 °，所以 DC ⊥ BE ． 【解答】 解：（ 1）∵△ ABC ，△ DAE 是等腰直角三角形，∴ A B=AC ， AD=AE ，∠ BAC= ∠DAE=90 °． ∠BAE= ∠ DAC=90 °+∠CAE ，在△ BAE 和△ DAC 中∴△ BAE ≌△CAD （ SAS）．（2）由（ 1）得△ BAE ≌△ CAD ．∴∠ DCA= ∠ B=45 °．∵∠ BCA=45 °，∴∠ BCD= ∠ BCA+ ∠ DCA=90 °，∴DC ⊥ BE ．充分利用等腰直角三【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；角形的性质是解答本题的关键．22．如图：（1） P 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的一个动点，过点 P 作 BC 的垂线，交 AB 于点 Q，交 CA的延长线于点 R．请观察 AR 与 AQ，它们有何关系？并证明你的猜想．（2）如果点 P 沿着底边 BC 所在的直线，按由 C 向 B 的方向运动到 CB 的延长线上时，（ 1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】探究型．【分析】（ 1）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠PRC 与∠ AQR 的关系；BQP （2）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠与∠ PRC 的关系．【解答】解：（ 1） AR=AQ ，理由如下：∵AB=AC ，∴∠ B=∠ C．∵RP⊥BC，∴∠ B+∠ BQP= ∠ C+∠ PRC=90°，∴∠ BQP= ∠ PRC．∵∠ BQP= ∠ AQR ，∴∠ PRC=∠ AQR ，∴AR=AQ ；（2）猜想仍然成立．证明如下：∵AB=AC ，∴∠ ABC= ∠C．∵∠ ABC= ∠PBQ，∴∠ PBQ=∠ C，∵RP⊥BC，∴∠ PBQ+ ∠ BQP= ∠ C+∠ PRC=90°，∴∠ BQP= ∠ PRC，∴AR=AQ ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；底角相等，直角三角形是两个锐角互余，题中有两个类别的特殊三角形，等腰三角形是两个还有对顶角相等的条件，为角的关系转化提供依据．23．如图，四边形ABCD 中，∠ DAB= ∠ABC=90 °， AB=BC ， E 是 AB 的中点， CE⊥ BD ．（1）求证： BE=AD ；（2）求证： AC 是线段 ED 的垂直平分线；（3）△ DBC 是等腰三角形吗？并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定．【分析】（1）利用已知条件证明△ DAB ≌△ EBC（ ASA ），根据全等三角形的对应边相等即可得到 AD=BE ；（2）分别证明 AD=AE ，CE=CE ，根据线段垂直平分线的逆定理即可解答；（3）△ DBC 是等腰三角形，由△ DAB ≌△ EBC，得到 DB=EC ，又有△AEC ≌△ ADC ，得到EC=DC ，所以 DB=DC ，即可解答．【解答】解：（ 1）∵∠ ABC=90 °，∴∠ ABD+ ∠ DBC=90 °，∵CE ⊥BD ，∴∠ BCE+ ∠ DBC=90 °，∴∠ ABD= ∠ BCE ，∵AD ∥ BC ，∴∠ DAB= ∠ EBC ，在△ DAB 和△ EBC 中，∴△ DAB ≌△ EBC （ ASA ）∴A D=BE（2）∵ E 是 AB 的中点，即 AE=BE ，∵BE=AD ，∴AE=AD ，∴点 A 在 ED 的垂直平分线上（到角两边相等的点在角的平分线上），∵A B=BC ，∠ ABC=90 °，∴∠ BAC= ∠ BCA=45 °，∵∠ BAD=90 °，∴∠ BAC= ∠ DAC=45 °，在△ EAC 和△ DAC 中，，∴△ EAC ≌△ DAC （ SAS）∴CE=CD ，∴点 C 在 ED 的垂直平分线上∴AC 是线段 ED 的垂直平分线．（3）△ DBC 是等腰三角形∵△ DAB ≌△ EBC ，∴DB=EC∵△ AEC ≌△ ADC ，∴EC=DC ，∴DB=DC ，∴△ DBC 是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等．24．如图①，在 Rt△ ACB 中，∠ ACB=90 °，∠ ABC=30 °， AC=1 ，点 D 为 AC 上一动点，连接 BD ，以 BD 为边作等边△ BDE ，设 CD=n．（1）当 n=1 时， EA 的延长线交 BC 的延长线于 F，则 AF=2 ；（2）当 0＜ n＜ 1 时，如图②，在 BA 上截取 BH=AD ，连接 EH．①设∠ CBD=x ，用含 x 的式子表示∠ ADE 和∠ ABE ．②求证：△AEH 为等边三角形．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC=60 °，再根据平角等于180°求出∠ FAC=60 °，然后求出∠ F=30°，根据 30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；（2）①根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用∠CBD 表示出∠A DE=30 °+∠CBD ，又∠ HBE=30 °+∠ CBD ，从而得到∠ ADE= ∠ ABE ；② 然后根据边角边证明△ ADE 与△ HBE 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=HE ，对应角相等可得∠A ED= ∠ HEB ，然后推出∠ AEH= ∠ BED=60 °，再根据等边三角形的判定即可证明．【解答】（ 1）解：∵△ BDE 是等边三角形，∴∠ EDB=60 °，∵∠ ACB=90 °，∠ ABC=30 °，∴∠BAC=180 °﹣ 90°﹣ 30°=60 °，∴FAC=180 °﹣ 60°﹣60°=60 °，∴∠ F=180°﹣90°﹣60°=30 °，∵∠ ACB=90 °，∴∠ ACF=180 °﹣90°，∴A F=2AC=2 ×1=2；故答案为： 2．（2）①证明：∵△ BDE 是等边三角形，∴BE=BD ，∠ EDB= ∠ EBD=60 °，在△ BCD 中，∠ ADE+ ∠ EDB= ∠ CBD+ ∠C，即∠ ADE+60 °=∠ CBD+90 °=x+90 °，∴∠ ADE=30 °+∠ CBD ，∵∠ HBE+ ∠ABD=60 °，∠ CBD+ ∠ ABD=30 °，∴∠ HBE=30 °+∠ CBD ，∴∠ ADE= ∠ HBE ，∴∠ ABE= ∠ADE=x+90 °；②在△ ADE 与△ HBE 中，，∴△ ADE ≌△ HBE （ SAS），∴A E=HE ，∠ AED= ∠ HEB ，∴∠ AED+ ∠ DEH= ∠ DEH+ ∠ HEB ，即∠ AEH= ∠ BED=60 °，∴△ AEH 为等边三角形．【点评】本题考查了 30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，（2）中求出∠ ADE= ∠ HBE 是解题的关键．。