近世代数课后习题参考答案第五章 扩域1 扩域、素域1. 证明:)(S F 的一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集是一个域.证 一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集为∑1)若 ∑∈b a , 则一定有),,(2,1n F a ααα ∈),,(2,1m F b βββ ∈易知m n F b a βββααα,,,,,,(2121 ∈-但∑⊂),,,,,,(2121m n F βββααα 从而∑∈-a b2)若,,∑∈b a 且0≠b 则 ),,,(21m F b βββ ∈-从而有∑⊂∈-),,,,,,(21211m n F abβββααα２ 单扩域１． 令E 是域F 的一个扩域，而F a ∈证明a 是F 上的一个代数元，并且F a F =)(证 因0=-a a 故a 是F 上的代数元．其次，因F a ∈，故F a F ⊂)(易见F a F ⊃)(，从而F a F =)(２．令F 是有理数域．复数i 和112-+i i 在F 上的极小多项式各是什么？)(i F 与)112(-+i i F 是否同构？证 易知复数i 在F 上的极小多项式为112,12-++i i x在F 上的极小多项式为252+-x x因)112()(-+=i i F i F 故这两个域是同构的．３．详细证明，定理３中a 在域F 上的极小多项式是)(x p证 令ℜ是)(x F 中的所有适合条件0)(=a f 的多项式作成)(x f 的集合．1) ℜ是)(x F 的一个理想(ⅰ)若 ℜ∈)(),(x g x f 则0)(,0)(==a g a f因而0)()(=-a g a f 故ℜ∉-)()(x g x f ⅱ)若)(,)(x h x f ℜ∈是)(x F 的任一元那么0)()(=a f a h 则ℜ∈)()(x f x h2)是一个主理想设 )(1x p 是ℜ中a ！的极小多项式那么，对ℜ中任一)(x f 有 )()()()(1x r x q x p x f +=这里0)(=x r 或r(x)的次数 但)()()()(1x R a q a p a f +=因 )(,0)(1a p a f =0= 所以0)(=a r若 0)(≠x r 则与x p 1是a 的极小多项式矛盾． 故有 )()()(1x q x p x f = 因而)((1x p =ℜ （３）因 p(a)=0 故p(x)ℜ∈)()(1x p x P 因二者均不可约，所以有)()(1x ap x p =又)(),(1x p x p 的最高系数皆为1那么1=a 这样就是)()(1x P x p =４． 证明：定理３中的K a F =)(证 设,K f ∈，则在定理３的证明中，'K K ≅之下有．a x a x a f n n nn +++→------11但 ,x a → -→11a a 故必011a a a f n n n n ++=--αα 这就是说)(αF k ⊂ 因而K a F =)(３ 代数扩域１．令E 是域F 的一个代数扩域，而α是E 上的一个代数元， 证明α是E 上的一个代数元 证 因为α是F 上的代数元所以nn e e e αα+++ 10又因为E 是F 的代数扩域，从而),,(10n e e e F 是F 的代数扩域，再有α是),,(10n e e e F 上的代数元，故),,(10n e e e F ()(αn n e e e e F ,,,,(110- )的有限扩域，由本节定理１，知 ),,,,,(110αn n e e e e F -是F 的有限扩域，因而是F 的代数扩域，从而a 是F 上的一个代数元．２．令F ,E 和L 是三个域，并且F E ⊂I ⊂，假定(:)I F m =而E 的元α在F 上的次数是n ，并且1),(=n m证明α在I 上的次数也是１ 证 设r I I =:)((α因为 F I I ⊃⊃)(α由本节定理1 rm F a I =):)(( 另一方面，因为F I F F :)(():)((αα 仍由本节定理！！ 即有rm n但由题设知 1),(=n m 故 r n又α在I 上的次数是r ，因而其在I 上的极小多项式的次数是１ α在I 上的次数是n ，因而其在F 上的极小多项式的次数是n 由于α在上的极小多项式能整除α在F 上的极小多项式所以n r ≤ 因而n r =３．令域！的特征不是２，E 是F 的扩域，并且 4):(=F E证明存在一个满足条件E I F ⊂⊂的E 的二次扩域F 的充分与必要条是：4):(=F E ，而α在F 上的极小多项式是b ax x ++24证 充分性：由于α在F 上的极小多项式为b ax x ++24 故F a ∉2及)(22αF a ∉因而1):)((2≠F a F 由本节定理１知：所以 2):)((2=F a F 这就是说，)(a F 是一个满足条件的的二次扩域必要性：由于存在I 满足条件E I F ⊂⊂且为F 的二次扩域即2):1(=F 因此可得（2)1:(=E 我们容易证明，当F 的特征不是２时，且 则 而！在！上的极小多项式是！同样 )(a I E =而β在f x -2上的极小多项式是 这样 ,,2F f f ∈=β I i i ∈=,2α那么ββ22212122f f f f i ++=所以24i =α22221212ββf f f f ++=222212122ββf f f f ++=令12f a -= f f f b 2221-=同时可知b a ,均属于F 024=++∴b a αα 由此容易得到0(a F E =４．令E 是域F 的一个有限扩域，那么总存在E 的有限个元m ααα ,,21使),,(21m F E ααα =证 因为E 是F 的一个有限扩域，那么把E 看成F 上是向量空间时，则有一个基n ααα ,,21显然这时 ),,(21m F E ααα =５．令F 是有理数域，看添加复数于F 所得扩域＂ )2,2(31311i F E = )2,2(31312wi F E =证明6):(,2)2((131==F E F证 易知！在！上的极小多项式是！即（3:)2(32=F F同样312上的极小多项式是322324222∙+-x x即4))2((31;2=F E由此可得（12):(,6):(21==F F F E４ 多项式的分裂域１．证明：有理数域F 上多项式14+x 的分裂域是一个单扩域)(a F 其中a 是14+x 的一个根证 14+x 的４个根为2222,2222,2222,22223210i a i a i a i a --=+-=-=+=又a a a a a a -=-==--31211,;所以)(),,,(321a F a a a a F =２．令F 是有理数域，x -3是F 上一个不可约多项式，而a 是a x -3的一个根，证明)(a F 不是a x -3在F 上的分裂域．证 由于a 是a x -3的一个根，则另外两个根是2,εεa a ，这里ε，2ε是12++x x 的根若)(a F 是a x -3的在H 上的分裂域那么)(,2a F a a ∈εε这样，就是)()(a F F F ⊂⊂ε由3。

3定理！有但))(():)((F a F F F ε此为不可能.３．令)(,),(),(21x p x P x p m 是域F 上m 个最高系数为1的不可约多项式，证明存在F 的一个有限扩域)21,,,(m a a a F ，其中i a 在F 上的极小多项式是)(x p i证 令=)(x f )(,),(),(21x p x P x p m 由本节定理２)(a f 在F 上的分裂域E 存在，根据4.3定理３， 知E 是F 上的有限扩域，取)(x p i 的根i a 则有E a a aF F m ⊂⊂),,(21因 E 是F 的有限扩域，故m a a a F ,,(21也是F 的有限扩域，显然)(1x p ！是i a 在F 上的极小多项式．４．令p 是一个特征为素数p 的域，)(a p F =是p 的一个单扩域， 而a 是][x p 的多项式a x p -的一个根，)(a p 是不是a x p -在F 上的分裂域？证 因α是a x p -的根 故0=-a a p 即p a α=由于P 的特征为素数！ 所以p p x a x =-因此)(αp 是a x p-在P 上的分裂域５ 有限域１．令F 是一个含np 个元的有限域，证明，对于n 是每一个 因数0〉m ，存在并且只存在F 的一个有m p 个元的子域L证 因为m 是n 的因数，所以)1()1(-=-mnp p 那么1-mpx 是x xnp-的因式，但x xmp-在F 中完全分裂，所以x xmp-在F 中也完全分裂，那么F中含有x x mp -的m p 个根，由这mp 个根作成一个子域L ．又因为x xmp-在F 中的分裂域只有一个，所以F 中有mp 个元的子L只有一个．２．一个有限域一定有比它大的代数扩域． 证 设F 是有q 个元的有限域．看F 上的1)(+-=x x x f q 因为对F 的任一元1)(,=a f a 因此，)(x f 在F 上没有一次因式．这样，)(x f 在F 上有一个一次数1〉的不可约因式)(x p ．作)(x p 分裂域E则F E ⊃ 而F E ≠且E 是F 的代数扩域．３．令F 是一个有限域，∆是它所含素域，且α是否必须F 是的非零元所作成的乘群的一个生成元？证 我们的回答是未必．令∆是３元素域 x x x f -=9)(在∆上的分裂域为F ，若令)(x f 的因式！的根为i ，则F 由 ,1,1,1,,1,1,0i i i i --+-+-所组成，14=i ！ 故i 不是F 非零元所作成的乘群的生成元． 但)(x F ∆=。

４．令∆是特征为２的素域．)(x ∆!找出的一切三次不可约多项式． 证 容易证明123++x x 及13++x x 是)(x ∆的一切三次不可约多项式．６ 可离扩域１．令域F 的特征是)(,x f p 是F 上一个不可约多项式，并且)(x f 可以写成F 上ep x，但不能写成1+e px的多项式)1(≥e ，证明，)(x f 的每一个根的重复度都是ep证 由于)(x f 可以写成F 上p x 的多项式，而不是1+e px 的多项式，我们以)()()(y g x g x f ep == 表示因为 )(x f 在F 上不可约，所以)(y g 也不可约．假定)(y g 的次数是m ，首系数是1，在它的分裂域中，分裂为1次因式iy β-的乘)()(1β-∏==y y g mi因此)()(1β-∏==epmi xx f若1α是β-epx的根，则 βα=ep那么epeepeipi px x x)(ααβ-=-=-所以)(x f 有m 个互异个根m αα ,,1，并且它们都是e p 重根．２．设域F 没有不可离扩域，证明F 的任一代数扩域 都没有不可离扩域．证 设E 是F 的一个代数扩域，α是E 的一个不可离元，那么α便是E 上一个有重根是不可约多项式)(x p 的根． 根据题设α是F 上是可离元，令)(1x p 是起极小多项式，则)(1x p 无重根．那么)()(1x p x p ，因)(1x p 无重根，故)(x p 亦无重根，这与α是E 的不可离元的假设矛盾．３．令域F 的特征是p 而),(βαF E =，这里a 是上次可离元而β是F 上P 次非可离元，=):(F E ？证 由本节引理４，β是F 上的非可离元，否则可以推出β是F 上的可离元，这与β是F 上非可离元矛盾，由于β是F 上P 次非可离元，由本节引理１，！在p 在F 上的极小多项式是a x x f p-=)(我们易知p 是使p β在F 上为可离元的最小正整数，那么β！ 在)(a F 上也一定是p 次非可离元． 这样a x x f p -=)()(:),(a F F βα故有（)(:),(a F F βα）pn a F F ==)(:),(βα４．找一个域F ，使F 有一个有限域E 而不是E 的单扩域． 证 取域0F 其特征是并设y x ,是0F 的无关无关未定元．令 ),(0y x F F = ),(11p py x F E =易知 都是-f 上不可约的单位元 所以E 是F 的一个有限扩域，并且2):(p F E =我们说，E 不是F 的单扩域： 若)(θF E =，则θ为q p y x 11,的有理式，从而θ为y x ,的有理式，故θ的次数，因此在E 上次数p ≤与2):(p F E =矛盾．。