量纲作业整理：夏伟光1、量纲是否就是单位？两者有何关系。
答:量纲不是单位。
量纲表示物理量的基本属性。
不同属性的物理量具有不同的量纲。
单位是用来对物理量度量的标准。
2、“Dimension”一词有什么涵义（从中看出其演变）“Dimension”开始有“维数”的意思；后有“长度，尺寸”的意思，指运动学、几何学上的概念；后来出现“量纲”的涵义，用来表示物理量的基本属性。
3、自由落体问题中，什么是基本量和导出量，单位系统如何选择，选法是否唯一？答：自由落体问题中含有三个变量：下落行程h，下落时间t，重力加速度g。
可以以h，g为基本量，t为导出量，以h，g为单位系统，也可以选t，g为基本量，h为导出量。
t，g为单位系统，选法不唯一。
4、从物理上分析摆锤质量为何与单摆周期无关。
答：对于一个单摆，当摆长l一定时，摆球的位置由摆角 确定，摆球的运动由重力加速度g决定，摆球的运动是一个纯运动学的问题，与摆球的质量无关，所以摆球的周期与摆球的质量无关。
5、什么是谐振子，求自然频率。
答：把振动物体看作不考虑体积的微粒，这个振动物体称作谐振子。
所谓谐振，在运动学就是简谐振动，该振动是物体在一个位置附近往复偏离该振动中心位置（叫平衡位置）进行运动，在这个振动形式下，物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。
自频率f 与弹性系数k ，微粒质量m 有关。
所以2(,)1 Tf g m k M M T = 取m ，k 为基本量并作单位系统，所以(1,1)g Cf =≡∴=6、把π定理和有的书上说的相似三定理进行比较，分析说明哪个更本质？答：相似三定理：相似第一定理：彼此相似的现象其同名各相似准则数值相同。
相似第二定理：现象的各物理量之间的关系，可化为相似准则的关系。
相似第三定理：如两个现象单值条件相似，而且由单值组成的各相似准则数值相同，则两个现象相似。
相似三定理与π定理相比，显然π定理中各12,,,N k πππ- 表示由其单位组成的无量纲量，而这些无量纲量即是相似三定理中的“同名相似准则”，显然，对于同一个函数f ，f 内各无量纲量值相同后，f 值也必定唯一，即相似三定理中的“同一类现象、单值条件相似”等条件。
（1）相似第一定理：即π定理中若两个现象具有相同的函数12(,,,)N k f ππππ-= ，则其无量纲量数值相同。
（2）相似第二定理：即π定理中一个物理现象，因变量a 是n个自变量12n a a a ，，，的函数，即121(,,,,)k k n a f a a a a a += ，，，取12,k a a a ，，作为单位，将因变量a 无量化为12(,)n k f ππππ-= ，，，即无量纲化因变量π是n k -个无量纲化自变量12,n k πππ- ，，的函数。
(3) 相似第三定理：即π定理中两个现象的各无量纲量12,,,N k πππ- 数值相同，且函数f 形式相同，则f 值也必定唯一。
相似三定律这么复杂的表述，用π定理一句话就能得到，显然π定理更本质。
7、用隐函数证明π定理。
答：把物理问题的一个因变量和N-1个自变量统一视作变量，其总数是N 。
记作12N a a a ，，，，则可将物理规律表示为12()0N f a a a = ，，，不妨取前k 个变量，它们是12k a a a ，，，，其量纲分别为12k A A A ，，，。
后面N-k 变量是导出量，其量纲可表示为基本量的量纲的幂次式：12121211221212[],[],[]k k kp p p k k q q q k k r r r N k a A A A a A A A a A A A ++===用基本量12k a a a ，，，作为单位系统，来度量其余量，由此得到的量值都是无量纲的纯数，它们满足的关系是：12121211221212(1,1,,1;(),(),,()0k k k p q r p p q q r r k k k k N k f a a a a a a a a a a a a ++= ）上式后面N-k 个为对F 起作用的无量纲因变量，记为12,,,N k πππ- ，因此函数关系可写为12(,,,)0N k f πππ-=8、推导物理量量纲的幂次表达式的最后一步。
答：(,,)(,,)()(,,)(,,)(,,)()(,,)(,,)(,,)()(,,)l m t l m t l l m t l ll l m t l m t m l m t m m m l m t l m t t l m t t t t f r r r f r r r f r f r r r r r r f r r r f r r r f r f r r r r r r f r r r f r r r f r f r r r r r r ααββγγ⎧⎧∂∂⋅==⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂⋅=⇒=⎨⎨∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂⋅==⎪⎪∂∂⎩⎩ l m t l m t l m t l m tf f f f f f df dr dr dr dr dr dr r r r r r r αβγ∂∂∂=++=++∂∂∂ l m t l m tdf dr dr dr f r r r αβγ∴=++ 两边积分得：ln ln ln ln ln l m t f r r r C αβγ=+++所以 (1)l m t f Cr r r αβγ=由于(,,)(,,)(,,)l m t l l m m t t l m t f r r r f r r r r r r f r r r '''='''而,,l m t r r r '''的取值也具有任意性，可取,,l l m m t t r r r r r r '''=== 可得：(1,1,1)1f =代入（1）式可得：C=1，所以(,,)l m t l m t f r r r r r r αβγ=可见，与之相对应，物理量X 的量纲表示式应为[]X L M T αβγ=9、盛水容器底侧小孔的出流速度。
（有图）答：小孔的出流速度v 与容器中水的高度h ，重力加速度g 和小孔的直径d 有关。
2(,,)L v f d g h L L L T T= 取,,g d ρ()d f h =将()d f h在x=0点泰勒展开，2'(0)()(0)'(0)()......2!d d f d f f f h h h=+++ 由于是小孔，d h 《1，所以()d f h ≈(0)f =C ，C =, v =由不可压缩流体的伯努利方程知即v = 10、若溢洪道断面为三角形，讨论溢洪流量。
（有图）答：单位时间内流过挡墙的质量流量Q ，控制参数有三角形的底部顶角α，流体的密度ρ，上游水头h ，重力加速度g 。
32(,,,) 1Q f g h M M LL T L Tρα= 取ρ，g ，h 为单位系统，则：1522(1,1,1,)Qf g hαρ=，所以1522()Q g h f ρα=11、分析定常管流的摩擦系数和总管阻？什么情况下可不考虑密度的影响，说明其物理原因。
答：摩擦系数d C 为单位面积上的管流阻力和管动压之比。
因此，d C 与管直径d ，液体密度ρ，粘度系数μ，流速U 相关。
即(,,,)d C f U d μρ=取,,U d ρ为基本量并作单位系统，得()()d C f f Re Udμρ'==总管阻22(Re)22d U dlP C dl U f ρρππ'=⋅⋅=（2）层流时，可以不考虑密度的影响。
层流时，每个质点基本上作等速运动，流元所受的惯性力和粘性力相比较小，惯性效应不明显。
因此可不考虑惯性即密度的影响。
12、在低速绕流问题中，如水和空气互相模拟，问机、艇的尺寸和速度的缩比范围是什么？解：固体受到流体的作用力(,',,,,)w f l l v αρμ= 取l ,v ,ρ作为单位，得22'(,,Re)w l f v l l αρ=，其中Re vlρμ=低速绕流的模拟需要两方面的模拟条件，即 ① 几何相似：''()()m p l l ll=和m p αα=； ② 动力学相似：(Re)(Re)m p =。
（1）先分析低速飞机在水中的模拟对于低速飞行的飞机，飞行的速度范围200～400km/h ，即50～120m/s ，一般飞机的尺寸：长30～60m ，翼展30～60m ，高10～20m ，水洞的尺寸：直径d=0.1～2m ， 则尺寸缩比为15600p l ml l α== （考虑做模型试验时飞机的放置方式，显然应以翼展方向的缩比为准）。
常温下空气的运动粘性系数62()14.810/p p m s μνρ-==⨯，水的运动粘性系数62() 1.00710/m m m s μνρ-==⨯，由(Re)(Re)m p =，得()()m p vl vlρρμμ=，得66()(/)14.81014.7()(/) 1.00710p p m m vl vl μρμρ--⨯===⨯ 则14.70.021p mmpv l v l =∙= 又50120/p v m s = ，所以506000/m v m s =一般情况下，水洞的水流速度的量级为1～10m/s ，显然流速远远达不到要求，因此用水洞模拟飞机的低速绕流是不现实的。
（2）再分析潜艇在空气中的模拟：对于低速前行的潜艇，其实际速度520/p v m s = ，潜艇的尺寸：长50～100m ，宽5～15m ，风洞的尺寸：直径为0.1～3m ， 则尺寸缩比为2150p l ml l α== （考虑做模型试验时潜艇的放置方式，显然应以宽度方向的缩比为准）。
常温下水的运动粘性系数62() 1.00710/p p m s μνρ-==⨯，空气的运动粘性系数62()14.810/m m m s μνρ-==⨯。
由(Re)(Re)m p =，得()()m p vl vlρρμμ=，得66()(/) 1.007100.068()(/)14.810p p m m vl vl μρμρ--⨯===⨯ 所以0.0680.00050.03p mmpv l v l =∙= 又520/p v m s = ，所以15040000/m v m s =因此当潜艇的速度很小且尺寸较小时，可以用大尺寸的风洞进行模拟，即只有在这种情况下模型试验才可以在风洞中进行。
13、作船舶润湿面积的量纲分析。
（有图）答：船舶的润湿面积S 的控制参数有：船舶外形的特征长度l ，排水体积D ，船行进的速度v ，水的密度ρ，水的粘性系数μ，重力加速度g 。