量纲分析与无量纲化
概念与意义
量纲分析法
物 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m] 量 t 的量纲记 T=[t]
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 量 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 纲 力 F 的量纲 [F]=LMT-2
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
q m j q 1 x 1 jq 2 x 2 j.q m .x m ( . j j 1 , 2 ,n . m . ). ,
q m j q 1 x 1 jq 2 x 2 j.q .m x .m q m j j(m j)
角函数等超越函数的运算是没有意义的。只有无量纲化才能
进行超越函数运算。如气体等温压缩计算式：W
p1V1
ln
V2 V1
量纲分析与无量纲化
研概究念方与法意义
量纲分析法
方法一：瑞利法（Rayleigh） ——量纲和谐原理的直接应用
具 1、 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量；
体 2、 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q]MLT 几何学量纲： = 0，0，=0
无量纲量：
分 类
运动学量纲： = 0，0，0
动力学量纲：0，0，0
对无量纲量q，[q]=1(=L0M0T0) 0
两个具有相同量纲的物理量相比； 几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零。
t2l1g F()0(t l/g)
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汉提出：
若某一物理过程包含n个物理量，即 f(q1,q2,..q.n,)0
q x 1 a 1x 2a 2..x m .a m l q n a 1 l x n 1 a 2 l x n 2 .a m .l. x n m
可以把它看成是m维空间的正交基矢，则 a1,a2,..a.m ,就是矢量
ln[q]在各个基矢量上的投影。则物理量q的“量纲”可以记做：
ln q a 1 ,a 2,.a .m .,l q n i a 1 i,a 2 i,. a m . ( i . i1 , , 2 ,. n ) ..,
可以互相讨论下，但要小声点
定理的解题步骤
（3）基本变量依次与其余物理量组成(n-m)个无量纲项( 项)，即
qm1,qm2,...q,n
q q m j q 1 x 1 jq 2 x 2 j.q m .x m ( . j j 1 , 2 ,n . m . ).1 ,a1
4 b1
c1
q q q lq m n j x 1 j lq 1 n x 1 j lq 2 n . . x m l .q m n j 1 2 3
如：一般取m=3，取基矢量q1、 q2、 q3
q1 M a1 Lb1 T c1 q2 M a2 Lb2 T c2 q3 M a3 Lb3 T c3
a1 b1 c1 a2 b2 c2 0 a3 b3 c3
满足基本量量纲 独立的条件是量 纲式中的指数行 列式不等于0
大家有疑问的，可以询问和交流
意义
(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性：
凡有量纲的物理量，都有单位，同一物理量，因选取的度
量单位不同，数值也不同，运动方程式的计算结果会受人主
观选取单位的影响；
(2)不受运动规律的影响：
无量纲量是常数，数值大小与度量单位无关，也不受运动
规律的影响；
(3)可进行超越函数运算：
由于有量纲量只能做简单的代数运算，做对数、指数、三
其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量）
则该物理过程可由n个物理量构成的(n-m)个无量纲项所表达
的关系式来描述 ，即 F(1,2,...n ,m )0
定理的解题步骤
（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响
这个现象的各个物理量及其关系式 f(q1,q2,..q.n,)0
（2）确定基本变量：从n个物理量中选取m个基本物理量
a11 a12 ... a1m x1j a1,m j
将其写出分量的形式： a21 a22 ... a2m x2j a2,mj
... ... ... ... x3j a3,mj
（4）满足π为无量纲项，
am1 am2 ... amm x4 j a4,m j
定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci
1 2
0 1
/
2
3 1 / 2
t l 对比 t 2 l
g
g
例题：
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 f(t,m ,l,g)0
t ml g y1 y2 y3 y4
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
[ t ] L 0 M T0 1
[
m
]
L0M
1T
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3 y4 0
y
2
0
y 1
2
y 4
0
y 12 ,y20 ,y3 1 ,y4 1
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2g3
l
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t][m ]1[l]2[g]3
m
(4)以基本量纲表示 T M 1 L 2L 2 3 T M 1 L 2 3 T 2 3 mg
(5)根据量纲和谐原理
1 0 2 3 0 2 3 1
分 析
qi K1aqq2b..q.np1
步 3、 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，
骤 确定物理量的指数a，b，……p，代入指数方程式即得
： 各物理量之间的关系式。
q i q 1 a q 2b ..q n .1 p
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 ft,m ,l,g0