f
( z )]
1 p4 2ip2 (1 p2 )
因此
I 2πiRes[ f (z), 0] Res[ f (z), p]
2πi
1 p2 2ip2
1 p4
2ip2 (1
p
2
)
2πp2 1 p2
数学物理方法
4.2.2 P(x) d x 型积分
Q(x)
定理 设 f (z) P(z) 为有理函数，其中 P(z),Q(z) 为互质多项式， Q(z)
2
2
i i I
z2
|z|1
z2 2
1 2 p
1 z z1
p2
dz iz
|z|1
z4 1 2iz2 (1 pz)(z
dz p)
2
设 f (z)
z4 1
2iz2 (1 pz)(z p)
在积分区域 z 1内函数 f (z) 有二个极点 z 0, z p ，其中 z 0 为 二阶极点， z p 为一阶极点，而
以 转 化为 复 变函 数 的环 路积 分 （注 意 到当 积分 路 径沿 实 轴时 ，
z x 即对应于实积分），再利用留数定理，则积分显得方便易求。
数学物理方法
利用留数定理计算实积分 f (x)dx 一般可采用如下步骤：
（1）添加辅助曲线，使积分路径构成闭合曲线； （2）选择一个在围线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数
并且
（1）分母 Q(z) 的次数至少比 P(z) 的次数高两次；
（或表为 lim zf (z) 0 ） z
（2） Q(z) 在实轴上没有零点；
则有
P(x)
P(z)
Q(x)
d
x
2πi
Im
zk
0
Res
Q(z)
,
zk
特别地，若对应实函数 f (x) P(x) 为偶函数，则 Q(x)
f (x) d x πi
这是一个实变量的积分，要用留数计算，可按上面步骤进行 讨论。
定 理 设 f (z) R(cos,sin ) 为 cos ,sin 的 有 理 函
数，且在 [0, 2 ] 上连续，则
2
n
R(cos ,sin ) d 2πi
0
Res[ f (z), zk ]
k 1
（4.2.1）
其中
f
(z)
1 iz
2π
n
R(cos ,sin ) d 2πi
0
Res[ f (z), zk ]
k 1
数学物理方法
例 4.2.1 求 I 2π d 的值.
0 2 cos
【解】 令 z ei ，则
i i I
|z|1
2
1 z2
1
dz iz
2 i
1 dz |z|1 z2 4z 1
2z
被积函数
f
(z)
z2
1在 4z 1
0
0
eax c o sbx( x) ；d 阻尼振动问题中需要计算积分 sin x d x
0
0x
等．我们在高等数学中已经知道这些实变 函数的积分需要特殊的
技巧才能计算，有的很难，甚至不能计算 。原因在于被积函数往
往不能用初等函数的有限形式表示，因 而就不能用牛顿——莱布 尼兹公式计算．可是通过本节的学习我们 会发现，这些实积分可
z
1内只有单极点 z
2
3 ，故
I
2 i
2πi
Res
f
( z ),
2
3
4π
lim
z 2
3
z
(2
3)
z
2
1 4z
1
2π 3
数学物理方法
例 4.2.2 求 2π
d
(0 1) 的值。
0 1 2 cos 2
解： 令 z ei ，则
i i I
1
1 |z|1 (z z1) 2
z 1的正向绕一周，所以有
Ñ 2π
R(cos ,sin ) d
z z1 z z1 1
R(
,
) dz
0
C
2
2i iz
当有理函数 f (z) R( z z1 , z z1 ) 1 在圆周 C ： z 1 的
2
2i iz
内部有 n 个孤立奇点 zk (k 1, 2,, n) 时，则由留数定理有
数学物理方法
Res[ f (z), 0] lim d [z2 f (z)] z0 d z
(z pz2 p p2z) 4z3 (1 z4 )(1 2 pz p2)
lim z0
2i(z pz2 p p2z)2
1 p2 2ip 2
Res[
f
( z ),
p]
lim[( z
z p
p)
F(z) ，使得满足 F(x) f (x), 通常选用 F(z) f (z) ，只有少数例
外；
（3）计算被积函数 F(z) 在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数，
然后求出这些留数之和；
（4）计算辅助曲线上函数 F(z) 的积分值。通常我们选择辅助
线使得积分简单易求，甚至直接为零。
数学物理方法
4.2.1 2 R(cos ,sin ) d 型积分 0
R(
z
z1 2
,
z
z1 2i
)
，
zk
(k
1,
2, ,
n)
为
单位圆 C : z 1内部的 n 个孤立奇点。
数学物理方法
证明 若令 z ei , 则
cos ei ei z z1 sin ei ei z z1

2
2i
2i
dz iei d izd
并且由变换 z ei 知，当 从0变到 2π 时，z 恰好沿单位圆周 C ：
数学物理方法
陈尚达 材料与光电物理学院
第四章 留数定理
数学物理方法
1、留数定理 2、应用留数定理计算实变函数积分 3、计算定积分补充题
数学物理方法
4.2 应用留数定理计算积分
在自然科学中常常需要计算一些实积分，特别是计算一些在
无穷区间上的积 分．例如， 光学问题 中需要计算 菲涅耳积分
cos(x2 ) d x, sin(x2 ) d x ； 热 传 导 问 题 中 需 要 计 算
dz iz
i
dz
|z|1 ( z 1)(z )
被积函数在 z 1内只有单极点 z0 ，其留数为
Re
sf
(
)
lim
z
i z 1
i 2 1
故由留数定理有
I
2
1
1 2
数学物理方法
例 4.2.3
求I
2π cos 2 d 0 1 2 p cos p2
(0 p 1) 的值。
解： 令 z ei ，由于 cos 2 1 (e2i e2i ) 1 (z2 z2 ) ，因此
0
Res[ f (z), zk ]
Im zk 0
（4.2.2）
数学物理方法
证明：在 z 平面上，选取积
分 路 径 C 为 上 半 圆 周 CR ：
y
z R, Im(z) 0 和实轴上线段
R x R, Im(z) 0 围
成的闭曲线（如右图所示）。 在 实 轴 上 被积 函 数即 为
f (x) P(x) 。 取 R 充分大， Q(x)