1、试将三重积分
(),,f x y z dv Ω
⎰⎰⎰化为三次积分，其中积分区域Ω分别为：
1） 由双曲抛物面xy z =及平面10,0x y z +-==所围成的区域。

(),,f x y z dv Ω
=
⎰⎰⎰
()1
10
,,x
xy
dx dy f x y z dz
-⎰
⎰
⎰。

2） 由曲面2
2
2
2,2z x y z x =+=-所围成的区域
(),,f x y z dv Ω
=
⎰⎰⎰()2
2
2
1
21
2,,x x y dx f x y z dz --+⎰
⎰。

2、计算下列三重积分 1）
23xy z dv Ω
⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面xy z =与平面,1,0x y x z ===所围成的闭区域。

解：原式1
11235612
000000111428364x xy x
dx dy xy z dz dx x y dy x dx =
===⎰⎰⎰⎰⎰
⎰ 2）xzdxdydz Ω
⎰⎰⎰，其中Ω是由平面,1,0z y y z ===及抛物柱面2
y x =所围成的闭区
域。

解：原式()221
1
1
1
12
7101111026
y
x x dx dy xzdz dx xy dy x x dx ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3、利用柱面坐标计算()22
x y dv Ω
+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成
的区域。

解：原式22
54622
2
2
3
30
00201622222123
r r r r d dr r dz r dr π
θπππ⎛⎫⎡⎤=
=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰
⎰⎰⎰
4、利用球面坐标计算()2
22x
y z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭
区域。

解：原式2140
24sin sin 5
5
d d d d π
π
π
π
πθϕρϕρϕϕ=
=
=
⎰
⎰⎰⎰
5
、选用适当坐标计算
Ω
，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成区域。

解：原式5
22cos 3
4
2
20
01cos sin 2cos sin 42510
d d d d π
π
π
π
ϕ
πϕπθϕρϕρπϕϕϕ⎡⎤===-=⎢⎥⎣⎦⎰
⎰⎰
⎰。