电磁学第二版习题答案第六章习题在无限长密绕螺线管内放一圆形小线圈，圆平面与螺线管轴线垂直。
小线圈有100 6.2.11 匝，半径为1cm ，螺线管单位长度的匝数为200cm . 设螺线管的电流在0.05 s 内以匀变化率从 1.5 A 变为-1.5 A(1) 求小线圈的感应的电动势;(2) 在螺线管电流从正直经零值到负值时，小线圈的感应电动势的大小和方向是否改变, 为什么,解答:1 2 , 小线圈半径R, = 10 (1) 螺线管单位长度的匝数n=200 cm m , 匝数N , , 100 ，若选择电动势的正方向与电流的正方向相同，螺线管内小线圈的感应电动势大小为, , , N , ddt, , N , dBdtS , , , 0 n( R, 2 ) N , dIdt , 4.7 ,10 2V .>0表明电动势的方向与设定的方向相同。
螺线管电流从正值经零值到负值时，小线圈的感应电动势的大小和方向都不变，(2)因为电流以及磁通量都以相同的变化率作变化。
6.2.2 边长分别为a=0.2 m 和b=0.1 m 的两个正方形按附图所示的方式结成一个回路，单2 , 位的电阻为 5 , 10 10 . 回路置于按 B , Bm sin ， t 规律变化的均匀磁 场中， mBm , 10 2 T ， ， , 100 s 1 。
磁场 B 与回路所在平面垂直。
求回路中感应 电流的最大值。
解答:在任一瞬时，两个正方形电路中的电动势的方向相反，故电路的总电动势的绝对值，故回路电阻为 因回路单位长度的电阻 , , 5 ,10 ma ，b ， , 6 ,10 2 ,回路中感应电流的最大值为I m , R, m , 0.5 A已知 r x (设 x 以匀速 v , 而大线圈在校线圈内产生的磁场可视为均匀时间 t dt而变.(1) 把小线圈的磁通 , 表为 x 的函数, 表为 x 的函数 (2) 把小线圈的感应电动势 (绝对值 )(3) 若 v , 0 , 确定小线圈内感应电流的方向 .解答:cos大 d , 小 dB 2 , , , a， b2 ， , ， a 2 b2 Bm cos ，t , , m t dt dt dt6.2.3 半径分别为 R 和 r 的两个圆形线圈同轴放置，相距为 x (见附图)。
dx x .(1) 满足条件R x 下,载流大线圈在面积S 为的小线圈的磁通量为,0 IR 2 , , BS , r 2 2 x3小线圈的磁感应电动势(绝对值)为(2),0 Ir 2 R 2 3,0 Ir 2 R 2 d , , , , ( 3x 4 dxdt ) , v dt 2 2 x 4(3) 若时, 小线圈内感应电流与大线圈的电流的方向相同在无限长密绕螺线管外套一个合金圆环，圆心在轴线上，圆平面与轴线垂直( 见附6.2.4图). 管内系统随时间以常变化率 2 ，增大，电流表经开关接到环上的P、Q(两点连线过环心).( ( (1) 求开关断开时下列情况的U PQ : a) 两个半圆的电阻都为R，b) 左半环电阻为R，右半环电阻为2R;(2) 设电流表所在支路电阻为零，求开关接通时电流表在上问的(a)(b)情况下的电流I A ( 大小和方向);(3)若座半环电阻为R，有半环电阻为kR (其中k , 0 )，试证开关接通时I无关。
解答:(1) 馆内磁通随时间以常变化率2 ，增大时，在开关断开时，感应电动势d, , , , 2 ，dt(a) 两个半环的电阻都为R 时，等效电阻如图6.2.4(a) 所示，, , , R , , 0 U PQ , , QP 2R 2 2方向向上。
(3) 左半环电阻为 R ，右半环电阻为 kR ，电流表开关接通时，利用戴维南定理等效电路如图 6.2.4(e) 所示，等效电源的电动势为, ，1 k ， ， kR , , e , U PQ , , QP等效电阻为(b) 左半环电阻为 R ，右半环电阻为 2R 时，等效电路如图 6.2.4(b) 所示，有 , , 2, , ， 2R , , , U PQ , , QP 3R 2 3 6 3 (2) 电流表开关接通时 : (a) 两个半环的电阻都为 R 时，等效电路利用戴维南定理如图 6.2.4(c) 所示，有 右半环的支路于电流表支路组成的闭和回路中没有磁场，亦没有磁通的变 化，因此该回路的 总电动势为 0 。
已知右半环的支路上的电动势为 ，因此电 流表支路的电动势亦为 ，由图 6.2.4(c) 可见，通过电流表的电流为2， , A 2, A , , I A , R R R 2 方向向上。
(b) 左半环电阻为 R ，右半环电阻为 2R 时，利用戴维南定理等小电路如图 6.2.4(d) 所示，等效电源的电动势等于开路电压 U PQ , , 2, , ， 2R , , , U e , U PQ , , QP 3R 2 3 6 3 等效电阻为 R ， 2R ， 2R , Re , 3 R ， 2R等效电路如图 6.2.4(d) 右图所示，因等效电动势 , e , 0 ，故将其极性相 反，求得通过 电流表的电流大小为 , ， ， , e ， I A , 2R R Re，1 ， k ， ， 1 ， k ， RR ，kR ，kR , Re , ，1 ，k ，R 1 ，k等效电路如图 6.2.4（e）右图所示。
按等效电动势, e 的方向，极性如图所示，求得通过电流表的电流大小, ，1 k ，，, e 2 ，1 ，k , , I A , 2 kR R Re方向向上。
证明开关接通时的I A 与k 无关。
直径为D的半圆形导线置于与它所在平面垂直的均匀磁场 B （见附图），当导线 6.3.1绕着过P点并与 B 平行的轴以匀角速度，逆时针转动时，求其动生电动势, PQ解答:在辅助线PQ,与圆弧PQ构成闭合回路，当绕着P点以匀角速度，逆时针转动时，封闭曲线的面积不变，因而闭合回路的总电动势, PQQP , , PQ ，, QP ,0 ，沿圆弧的动生电动势BD 2 , , v , B vBdl , P P P 0 2l ，电阻为R（见附图）。
导轨两端分平行金属导轨上放一金属杆，其EF 段长度为 6.3.2别连接电阻R1 和R2 ，整个装置放在均匀磁场 B 中， B 与导轨所在的平面垂直。
设金属杆以v速度匀速向右平动，忽略导轨的电阻和回路的自感，求杆中的电流。
解答:当金属杆以速度v 运动时，杆上有电动势, , vBl ，附图的等效电路图如图6.3.2 所示，杆中的电流大小为, vBl ，R1 ，R2 ，I , , R1R2 R ，R1 ，R2 ，，R1 , R2 RR1 ，R2m 的金属杆，其PQ 段的长度为l（见附图）. 半无限长的平行金属导轨上放一质量为 6.3.3导轨的一端连接电阻R。
整个装置放在均匀磁场B中，B与导轨所在的平面垂直。
设杆以初速度v0 向右运动，忽略导轨和杆的电阻及其间的摩擦力，忽略回路自感。
(1) 求金属杆所能通过的距离;(2) 求此过程中电阻R 所发的焦耳热;(3) 试运用能量守恒定律分析上述结果。
解答:（1）当金属杆以速度v 沿x 轴正方向（平行于轨道向右）运动时，杆上的电动势, , vBl ，电路的电流为i , vBl R . 从而受到的电磁力大小为2 2 2 2 vB l B l dx F , iBl , ,R R dt此电磁力与运动方向相反，根据牛顿第二定律，有2 B 2l dx dv F , , R dt dtmR dx , dv B l2 2设杆的起始位置为x=0 ，金属杆所能移过的距离为0 mR mR x , dv , v0 ，v0 B 2l 2 B l2 2(2) 此过程中电阻所发的焦耳热为2 0 B l2 2 x B l2 2 vBl 1 mR 2 i Rdt , mv0 2 v 2 2 dv , Q ,Rdt , ，vdx , ，0 0 0 v0 R 2 Bl R R(3) 从能量受恒定律进行分析: 起始情况，金属杆以速度v0 运动具有的动能1 mv02 ，由于受到电磁阻力的作用杆的速度最终减至0 ，金属杆的动能全2部转化为电路所消耗的焦耳热。
6.3.4 上题中如果用一向右的恒力F 拉金属杆，并把初速度改为0 ，求证杆的速率随时间B 2l 2 F 变化的规律为v ，t ，, ，1 e ，t，其中，, ma mR 2证明:当金属杆以速度v 运动时，电路中电流为I ，金属杆所受的电磁力大小为vBl B l2 2 , v Fm , Bil , Bl R R根据牛顿第二定律，金属杆所受的合力与加速度的关系为2 B 2l dv F v , m经整理得, dv F B l2 2 v dt m mRB 2l 2 令，, ，得mRdv Fv ,dt m ，分离变量得v m, F , , dtm，积分后得v ln , ，t ，Cm，式中:C为待定系数，由初始条件，t=O,v(O)=O,得F C , ln mam，v ln , ，t Fm，F v m, , e , t Fm，证得杆的速率随时间变化的规律为F v ，t ，, ，1 e ，t ，ma长度各为1m,电阻各为4,的两根均匀金属棒PQ和MN放在均匀稳恒磁场B 中，6.3.5B , 2T , 方向垂直纸面向外(见附图) 。
两棒分别以速率v1 , 4 m s 和v2 ,导轨向左匀速平动，忽略导轨的电阻及回路自感，求; (!) 两棒的动生电动势的大小，并在图中标出方向;(2) U PQ 和U MN(3) 两棒中点和的电势差。
解答:(1) PQ 杆的电动势的方向由Q 指向P 大小为MN杆的电动势的方向由N指向M大小为M ，v2 , B ，dl , v2 Bl , 4V N(2) 设电路的电流为顺时针方向，大小为, PQ , NM I , , 0.5 AR 2 ，R1PQ 杆之间的电压为U PQ , , QP IR1 , 6VMN杆之间的电压为U MN , , NM IR2 , 6V(3) PQ 杆中点O1 与O2 之间的电压为, QP IR1 , 3 VU O1Q , 2 2MN杆中点02与N之间的电压为, NM IR2 ，, 3 V U O2 N , 2 2因Q 点与N 点等势，故01 与02 间的电压为V U 0102 , U 0Q U 02 N , 0 1半圆形刚性导线在摇柄驱动下在均匀磁场 B 中作匀角速转动（见附图），半圆形的 6.3.6半径为0.1m ，转速为3000 r min ，求动生电动势的频率和最大植。
解答:只有半圆弧的运动对动生电动势有贡献，沿旋转轴（即直径）作一辅助线，与半圆弧连成一封闭曲线，设t=0 时，半圆面的位置如附图所示，选取半圆面的法线方向垂直向外，t 时刻通过半圆面的磁通量为, , B S , B cos ，t 2封闭曲线产生的感应电动势方向沿顺时针，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势大小为2 d , , , sin ，t , dt 2感应电动势的变化频率为N 1 3000f , , s , 50 Hz t 60感应电动势的圆频率为，, 2 f , 100 rad s电动势的最大值为B R 2，, 2.7 m , m , 2，作匀匀角速转动，转轴垂半径为R 的圆形均匀刚性线圈在均匀磁场 B 中以角速度6.3.6图中 r=5.0 cm直于B （见附图），轴与线圈交于A 点，弧长AC 占1 4周长，M 为AC 弧的中 点。