等腰三角形（讲义）
➢ 知识点睛
1. 等腰三角形
D
C B
A 2α
α
α
α
αD
C B A
延长CB 到点D ，使BD =BA 作∠ABC 的平分线
E
α2αA
B C D 2ααα
D
C B A
作AC 的垂直平分线 作∠DCB =∠ABC
2. 等边三角形
（1）定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形．
（2）性质：
①边：等边三角形三边都相等；
②角：等边三角形三个内角都相等，并且每个角都等于_____； ③线：等边三角形三线合一． （3）判定：
①_____________的等腰三角形是等边三角形； ②_____________的三角形是等边三角形．
3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的
________等于_______的一半．
4. 在证明时，先假设_____________不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定
理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明的方法称为反证法．
➢ 精讲精练
1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =32°，以点C 为圆心，BC 长为半径作弧，交
AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠ABE 的度数为______．
A
D
E
B C C D B
A
第1题图 第2题图 2. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =______．
3. 如图，AD =BC ，AC =BD ，求证：△ABE 是等腰三角形．
E
D
C
B
4. 如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，∠ADE =∠AED ．
求证：BD =CE ．
A
B C
D E
5. 如图，点C 在线段AB 上，AD ∥BE ，AC =BE ，AD =BC ，CF 平分∠DCE ．求证：
DF =EF ．
F
D
C
A
6. 如图，BD ，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，已知
AG ⊥BD ，AF ⊥CE ．若BF =2，FG =6，CG =4，则△ABC 的周长为__________．
A
E B
C
G
D
A D
B
第6题图 第7题图 7. 如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，
∠A =∠ABD ，若AC =6，BC =4，则BD 的长为（ ） A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．2.5
8. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =6，BC =10，过点A 作BC 的平行线，交
∠ABC 的平分线于点E ，交∠ACB 的平分线于点D ，则DE 的长为_________．
E
D
C
B
A
9.如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点E，过点E作BC
的平行线，交AB于点F，交AC于点G，若BF=8 cm，CG=5 cm，则
FG=__________．
G
A
B C D E
F
E
A
D
C
F B
12. 如图，在△ABC 中，点D ，E 在BC 上，且BD =DE =AD =AE =EC ，则∠BAC 的度
数为_______________．
E D C
B A
13. 如图，在等边三角形ABC 的三边上分别取点D ，E ，F ，使AD =BE =CF ．求证：△
DEF 是等边三角形．
E
D
C
B
A F
14. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥AC ，交BC 于点D ．若BC =6，
则CD 的长为________．
B C
D
A
15. 如图，四边形ABCD 中，AD =4，BC =1，∠A =30°，∠B =90°，∠ADC =120°，则
CD =________．
➢知识点睛
1.（2）②的两底角相等；等边对等角；③顶角的平分线；底边上的中线；底边上的
高线
（3）有两个角相等
2.（2）②60°
（3）①有一个角等于60°；②三个角都相等
3.直角边；斜边
4.命题的结论
➢精讲精练
1.21°
2.108°
3.证明略；
提示：先证△ABC≌△BAD（SSS），再在△ABE中由“等角对等边”，证明△ABE是等腰三角形．
4.证明略；
提示：先在△ABC中由“等腰三角形两底角相等”，得到
∠B=∠C，
再证△ABD≌△ACE（AAS），求证BD=CE．
5.证明略；
提示：先证△ACD≌△BEC（SAS），得到CD=EC，
再在△CDE中由“等腰三角形三线合一”，求证DF=EF．
6.30
7. A
8.14
9. 3 cm
10.证明略；
提示：延长BC至点E，使CE=CA，连接AE
先证∠E=∠B，得到AB=AE，再证BD=DE，
在△ABE中由“等腰三角形三线合一”，求证AD⊥BC．
11.1 2
12.120°
13.证明略；
提示：先证△ADF≌△BED（SAS），得到DF=ED，
再证DE=EF，根据DF=ED=EF，求证△DEF是等边三角形．
14.4
15.2
16.有两个角是直角
17.尺规作图略
提示：分类讨论，α为等腰三角形的顶角或底角。