数学精品复习资料中考综合题（一季-等腰三角形）（共七季）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，0C=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N．（1）填空：D点坐标是（ 2 ，0 ），E点坐标是（ 2 ， 2 ）；（2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围．MN=4CM=MN=4，解得：﹣MN=4，MN=4）6+b=444=，=，∴BN===，=，∴BN==•，2.如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l ：433+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，一个高为3的等边三角形ABC ，边BC 在x 轴上，将此三角形沿着x 轴的正方向平移.（1）在平移过程中，得到111C B A ∆，此时顶点1A 恰落在直线l 上，写出1A 点的坐标 ；（4分）（2）继续向右平移，得到222C B A ∆，此时它的外心P 恰好落在直线l 上，求P 点的坐标；（4分）（3）在直线l 上是否存在这样的点，与（2）中的2A 、 2B 、2C 任意两点能同时构成三个等腰三角形，如果存在， 求出点的坐标；如果不存在，说明理由. （4分）（1）()3,31A（2）设()y x P ,,连接P A 2并延长交x 轴于点H ,连接P B 2 在等边三角形222C B A 中,高32=H A ∴3222=B A ，32=HB∵点P 是等边三角形222C B A 的外心∴302=∠H PB ，∴1=PH 即1=y 将1=y 代人433+-=x y ，解得：33=x ∴()1,33P（3）点P 是222C B A ∆的外心，∵22PB PA = 22PC PB = 22PA PC = 22B PA ∆，22C PB ∆，22C PA ∆是等腰三角形 ∴点P 满足条件，由（2）得()3,33P 由（2）得：()0,342C ，点2C 满足直线l ：433+-=x y 的关系式. ∴点2C 与点M 重合. ∴302=∠PMB 设点Q 满足条件，22B QA ∆，22QC B ∆，22QC A ∆能构成等腰三角形.此时22QB QA = 222C B Q B = 222C A Q A =作x QD ⊥轴于D 点，连接2QB∵322=QB ，60222=∠=∠PMB D QB∴3=QD ，∴()3,3Q………………………………10分设点S 满足条件，22B SA ∆，S B C 22∆，S A C 22∆能构成等腰三角形. 此时22SB SA = S C B C 222= S C A C 222= 作⊥SF x 轴于F 点∵322=SC ，30222=∠=∠PMB B SC∴3=SF∴()3,334-S ………………………………11分 设点R 满足条件，22B RA ∆，R B C 22∆，R A C 22∆能构成等腰三角形. 此时22RB RA = R C B C 222= R C A C 222= 作⊥RE x 轴于E 点∵322=RC ，3022=∠=∠PMB E RC∴3=ER∴()3,343-+R答：存在四个点，分别是()1,33P ，()3,3Q ，()3,334-S ，()3,343-+R………………………………………………………………12分3．如图，已知直线y ＝3x －3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点(与A 点不重合)． (1)求抛物线的解析式： (2)求△ABC 的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形?若不存在，请说明理由：若存在，求出点M 的坐标.解：（1）求出A （1，0），B （0，－3）……………………1分 把A 、B 两点的坐标分别代入y ＝x 2＋bx ＋c 得 ⎩⎨⎧-==++301c c b 解得：b ＝2，c ＝－3…………………………3分 ∴抛物线为：y ＝x 2＋2x －3…………………4分 （2）令y ＝0得：0＝x 2＋2x －3 解之得：x 1＝1，x 2＝－3所以C （－3，0），AC ＝4…………………6分 S △ABC ＝分86342121⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⨯⨯=⋅OB AC （3）抛物线的对称轴为：x ＝－1，假设存在M （－1，m ）满足题意 讨论： ①当MA ＝AB 时 10222=+m6±=m∴M 1（－1，6），M 2（－1，－6）……………………10分 ②当MB ＝BA 时10)3(122=++m∴M 3＝0，M 4＝－6……………………………………10分 ∴M 3（－1，0），M 4（－1，－6）……………………12分 ③当MB ＝MA 时222)32=m+m+(12+m＝－1∴M5（－1，－1）……………………………………13分答：共存在五个点M1（－1，6），M2（－1，－6），M3（－1，0），M4（－1，－6），M5（－1，－1），使△ABM为等腰三角形……………………………………14分4. 如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C 向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。

设运动时间为t秒．(1)求线段BC的长；(2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。

设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：(3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，QG?考点：等边三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角形内角和、等腰三角形判定，一元一次方程分析：（1）由△AOB为等边三角形得∠ACB=∠OBC=300，由此CO=OB=AB=OA=3，在RT△ABC中，AC为6 ，从而BC=（2）过点Q作QN∥0B 交x轴于点N，先证△AQN为等边三角形，从而NQ=NA=AQ=3-t，NON=3- (3-t)=tPN=t+t=2t，再由△POE∽△PNQ后对应边成比例计算得再由EF=BE易得出m 与t之间的函数关系式(3)先证△AE’G为等边三角形，再证∠QGA=900通过两边成比例夹角相等得△FCP∽△BCA 再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通过解方程求出解答：(1)解：如图l∵△AOB为等边三角形∴∠BAC=∠AOB=60。

∵BC⊥AB ∴∠ABC=900∴∠ACB=300∠OBC=300∴∠ACB=∠OBC ∴CO=OB=AB=OA=3∴AC=6 ∴BC=AC=(2)解：如图l过点Q作QN∥0B交x轴于点N∴∠QNA=∠BOA=600=∠QAN ∴QN=QA∴△AQN为等边三角形∴NQ=NA=AQ=3-t∴NON=3- (3-t)=t∴PN=t+t=2t∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ∴∴∴∵EF∥x轴∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=300∴EF=BE∴m=BE=OB-OE(0<t<3)(3)解：如图2∴∠AEG=600=∠EAG∴GE1=GA ∴△AE’G为等边三角形∴∠l=∠2 ∠3=∠4∵∠l+∠2+∠3+∠4=1800∴∠2+∠3=900即∠QGA=900∵EF∥OC∵∠FCP=∠BCA ∴△FCP∽△BCA．∵2BQ—PF=QG ∴∴t=1∴当t=1 时，2BQ—PF=QG5．在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线y=mx2﹣x+n的对称轴是直线x=2．（1）求出该抛物线的解析式．（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C．现在利用图2进行如下探究：①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值．②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由．Rt△PAE∽Rt△PGF，则有==的值是定值，，∴﹣y=）①==xxx x=MD==．x=∴FD==∴F（FD=DM=，∴OF=OD﹣．，，﹣6.如图，点P 是直线l ：22--=x y 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线x y =于A 、B 两点．（1）若直线m 的解析式为2321+-=x y ，求A 、B 两点的坐标； （2）①若点P 的坐标为（－2，t ），当PA ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上都能找到点A ，使得PA ＝AB成立．（3）设直线l 交y 轴于点C ，若△AOB 的外心在边AB 上，且∠BPC ＝∠OCP ，求点P 的坐标．解：（1）依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.,23212x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=492311y x ，⎩⎨⎧==1122y x∴A （23-，49），B （1，1）． （2）①A 1（－1，1），A 2（－3，9）．②过点P 、B 分别作过点A 且平行于x 轴的直线的垂线，垂足分别为G 、H.设P （a ，22--a ），A （m ，2m ），∵PA ＝PB ，∴△PAG ≌△BAH ， ∴AG ＝AH ，PG ＝BH ，∴B （a m -2，2222++a m ），将点B 坐标代入抛物线2x y =，得0224222=--+-a a am m ， ∵△＝()()081816168228162222>++=++=---a a a a a a∴无论a 为何值时，关于m 的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的 点P ，抛物线上总能找到两个满足条件的点A ．（3）设直线m ：()0≠+=k b kx y 交y 轴于D ，设A （m ，2m ），B （n ，2n ）．过A 、B 两点分别作AG 、BH 垂直x 轴于G 、H ． ∵△AOB 的外心在AB 上，∴∠AOB ＝90°， 由△AGO ∽△OHB ，得BHOHOG AG =，∴1-=mn ． 联立⎩⎨⎧=+=2xy b kx y 得02=--b kx x ，依题意，得m 、n 是方程02=--b kx x 的两根，∴b mn -=，∴1-=b ，即D （0，1）． ∵∠BPC ＝∠OCP ，∴DP ＝DC ＝3．P设P （a ，22--a ），过点P 作PQ ⊥y 轴于Q ，在Rt △PDQ 中，222PD DQ PQ =+， ∴()2223122=---+a a ．∴01=a （舍去），5122-=a ，∴P （512-，514）． ∵PN 平分∠MNQ ，∴PT ＝NT ，∴()t t t -=+-22212，7．已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF 的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．BM=AGaBM=CG=CF=ME=CG=CF=CA=CD=aAG=DF=aBM=ME=×a=BM=ME=BE=aBM=ME=，BM=ME=BD M 、N 在x 轴上，点N 在点M 右侧，MN =2．以MN 为直角边向上作等腰直角三角形CMN ，∠CMN =90°．设点M 的横坐标为m ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式. （2）求点C 在这条抛物线上时m 的值.（3）将线段CN 绕点N 逆时针旋转90°后，得到对应线段DN .①当点D 在这条抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标.②以DN 为直角边作等腰直角三角形DNE , 当点E 在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m 值.【参考公式：抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的顶点坐标为24()24,b ac b a a--】（第23题）（1）∵抛物线经过点A (1-,0)、B (4,0)，∴20,16420.a b a b --=⎧⎨+-=⎩ 解得1,23.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线所对应的函数关系式为y ＝213222x x --. （2分） （2）由题意知，点C 的坐标为(m ,2)， （3分）∵点C (m ,2)在抛物线上，∴213222m m --＝2， 解得1m，2m. ∴点 C 在这条抛物线上时，m. （5分） （3）①由旋转得，点D 的坐标为(m ，-2). 抛物线y ＝213222x x --的对称轴为直线x ＝32. ∵点D 在这条抛物线的对称轴上，∴点D 的坐标为3(,2)2-. （7分）②m ＝52-或m ＝12-或m ＝32或m ＝72.9．如图，二次函数y=x 2+bx ﹣的图象与x 轴交于点A （﹣3，0）和点B ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接DP ，过点P 作DP 的垂线与y 轴交于点E ． （1）请直接写出点D 的坐标： （﹣3，4） ；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED 与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．﹣=有最大值的最大值为AG=10．如图①，若二次函数2y bx c =++的图象与ｘ轴交于点A （－2,0）,B （3,0）两点，点A 关于正比例函数y =的图象的对称点为C 。