一．常见的正/余弦系数矩阵
C N+1I ≔ √2N (ϵN (j)cos jkπN )j,k=0
N
C N II
≔ √2
N (ϵN (j)cos
j(2k+1)π2N
)j,k=0N−1
, C N III ∶= (C N II )T
C N IV
≔ √2N (cos (2j +1)(2k +1)π4N )j,k=0N−1
S N−1I
≔ √2N (sin (j +1)(k +1)πN
)j,k=0N−2
S N II
≔ √2
N (ϵN (j +1)sin
(j+1)(2k+1)π2N
)j,k=0N−1
, S N III ∶= (S N II )T
S N IV ≔ √2N (sin (2j +1)(2k +1)π4N
)j,k=0N−1
∈N (j)={√2
2 ,
0,N 1, other
二．一些基本定义
I n : 表示n 阶单位矩阵
J n : 表示n 阶反相矩阵 J n ≔(δ(j +k −n +1))j,k=0n−1,δ是克罗内克运算 V n : 表示n 阶移位矩阵 V n ≔(δ(j −k −1))j,k=0n−1,δ是克罗内克运算 C n ≔(cos (2k+1)π8N
)k=0N−1
S n ≔(sin
(2k+1)π8N
)k=0N−1
设A,B 是两个矩阵，则
A⨁B ∶=diag(A,B) 表示的是块对角矩阵
Σn ≔diag((−1)k )k=0n−1 表示对角符号矩阵
三．三角矩阵间的一些基本关系
C N+1I J N+1=ΣN+1C N+1I S N−1I J N−1=ΣN−1S N−1I
C N II J N =ΣN C N II S N II J N =ΣN S N II
C N IV J N ΣN =J N ΣN C N IV S N IV J N ΣN =J N ΣN S N IV
J N C N II =S N II
ΣN C N IV J N =ΣN S N IV
四．矩阵分解
首先给出一个重要的定义：
C N II =P N T
(C N 2
II ⨁C N 2
IV )T N (0)
T N (0)≔
1√2I N/2J N/2
I N/2
−J N/2
)
设存在矩阵Pn ，它可将一个矩阵的偶数行依次聚集到矩阵的上方，奇数聚集在矩阵的
下方，用数学方式表达如下：
P n X ∶=(x 0,x 2,…,x n−2,x 1,x 3,…,x n−1)T
P n C N
II =1√
N 2( (ϵN (2j )cos 2j (2k +1)π2N )
j,k=0
N 2−1
(ϵN (2j )cos 2j (N +2k +1)π2N )
j,k=0
N
2−1
(ϵN (2j +1)cos (2j +1)(2k +1)π2N )
j,k=0
N
2−1(ϵN (2j +1)cos (2j +1)(N +2k +1)π2N )
j,k=0N 2−1
)
=
1
√N 2
C N
2
II
C N 2II J N
2
C N
2IV −C N 2IV
J N 2)=1√N 2C N 2II 0
0C N
2
IV )(I n/2
J N
2
I n/2−J N
2
)=
1√
N 2
N 2II ⨁C N 2IV )(
I n/2
J N
2I n/2
−J N
2
)
P n C N IV =√
N 2( (cos (4j +1)(2k +1)π4N )j,k=0N 2
−1
(cos (4j +1)(N +2k +1)π4N )j,k=0N
2−1
(cos (4j +3)(2k +1)π4N )
j,k=0N
2−1(cos (4j +3)(N +2k +1)π4N )
j,k=0N
2−1)
=。