苏教版九年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
相似三角形的性质--知识讲解（提高）
【学习目标】
探索相似三角形的性质，能运用性质解决有关的计算或证明问题.
【要点梳理】
要点一、相似三角形的性质
1. 相似三角形周长的比等于相似比 ∽，则
由比例性质可得：
B
类似地，我们还可以得到：
相似多边形周长的比等于相似比.
2. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
∽，则分别作出与的高和，则21122=1122
ABC
A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△
B A'
D'
要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到：
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
要点二、相似三角形中对应线段的比
【课程名称：相似三角形的性质及应用394500
：相似形的性质】
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的对应线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
【典型例题】
类型一、相似三角形的性质
1.（2015•合肥校级四模）如图，己知：Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC于D，E 是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：
①△ABD∽△CAD；
②AB：AC=DF：AF．
【思路点拨】（1）由Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠ACD，又由
∠ADB=∠ADC，即可证得△ABD∽△CAD；
（2）由△ABD∽△CAD，即可得，易证得△AFD∽△DFB，可得，继而证
得结论．
【答案与解析】证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠ADB=∠ADC，
∴△ABD∽△CAD；
（2）∵△ABD∽△CAD，
∴，
∵E是AC中点，∠ADC=90°，
∴ED=EC，
∴∠ACD=∠EDC，
∵∠EDC=∠BDF，∠ACD=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDF，
∵∠AFD=∠DFB，
∴△AFD∽△DFB，
∴
， ∴．
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此外，注意掌握数形结合思想的应用．
举一反三:
【变式】在锐角△ABC 中，AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18和2，DE=2,求AC 边上的高.
【答案】过点B 做BF ⊥AC,垂足为点F ，
∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B ，
∴Rt △ADB ∽Rt △CEB, ∴,BD AB BD BE BE CB AB CB
==即, 且∠B=∠B ，
∴△EBD ∽△CBA, ∴2
21189BED
BCA DE AC S S ⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△, ∴13
DE AC =, 又∵DE=2，
∴AC=6， ∴11862
ABC AC BF S =⋅=∴△，BF=.
2.已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．
B
【答案与解析】
解：∵DA∥BC，
∴△ADE∽△BCE．
∴S△ADE:S△BCE=AE2:BE2．
∵AE︰BE=1:2，
∴S△ADE:S△BCE=1:4．
∵S△ADE=1，
∴S△BCE=4．
∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，
∴S△ABC=6．
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∵AE:AB=1:3，
∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．
∴S△AEF==．
【总结升华】注意，同底(或等底)三角形的面积比等于该底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．
举一反三：
【变式】已知如图，梯形ABCD中，AB∥CD，△COD与△AOB的周长比为1：2，则CD：AB=，S△COB：S△COD=
．
【答案】1:2；2:1
【课程名称：相似三角形的性质及应用
394500
：例题分析2】
3.（2015•柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG
落在BC上．若BC=3，
AD=2，EF=EH，求EH的长?
【思路点拨】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．
【答案与解析】
解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴=，
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，
∴=，
解得：x=，
则EH=．
故答案为：．
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
类型二、相似三角形中对应线段的比
4.△ABC∽△A′B′C′，
''
1 2 =
AB
A B
，AB边上的中线CD=4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：
（1）A′B′边上的中线C′D′的长；
（2）△A′B′C′的周长；
（3）△ABC的面积．
【答案与解析】
（1）∵△ABC∽△A′B′C′，
''
1 2 =
AB
A B
，AB边上的中线CD=4cm，
∴
''
1 2 =
CD
C D
，
∴C′D′=4cm×2=8cm，
∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm；
（2）∵△ABC∽△A′B′C′，
''
1 2 =
AB
A B
，△ABC的周长为20cm，∴=，
∴C△A′B′C′=20cm×2=40cm，
∴△A′B′C′的周长为40cm；
（3）∵△ABC∽△A′B′C′，
''
1 2 =
AB
A B
，△A′B′C′的面积是64cm2，
∴==，
∴S△ABC=64cm2÷4=16cm2，
∴△ABC的面积是16cm2．
【总结升华】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．。