= f (x2) x2
f (x1) . x1
f (1) . 1
证明:
8
2
7.
(20 分) 设 f
是
(0;
+1)
上的凹
(或凸)
函数且
lim
x!+1
xf
0(x)
=
0
(仅在
f
可导的点考虑
极限过程).
8. (20 分) 设 2 C 3(R3), 及其各个偏导数 @i (Ái = 1; 2; 3) 在点 X0 2 R3 处取值都是 0.
北京大学 2017 年硕士研究生招生考试试题
(启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试 1 (数学分析) 考试时间: 2016 年 12 月 25 日上午
专业：数学学院各专业 (除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向 (除金融学和应用统计方向)
———————————————————————————————————————— 说明：答题一律写在答题纸上 (含填空题、选择题等客观题), 写在此试卷上无效.
5.
(20 Â
分) Ã
假设
x0
=
1;
xn
=
xn
1 + cos xn
1(n = 1; 2;
), 证明: 当 x ! 1 时, xn
= 2
o
1 nn
.
6. (20 分) 假如 f
2
C [0; 1]; lim
x!0+
f (x) x
f (0)
=
˛
<
ˇ
=
lim
x!1
f (x) x
(˛; ˇ); 9x1; x2 2 [0; 1] 使得
X0 点的 ı 邻域记为 Uı (ı > 0). 如果
@2ij
(X0) 是严格正定的, 则当 ı 充分小时, 证
33
明如下极限存在并求之:
•
lim
3
t2
t !+1
e t (x1;x2;x3) dx1dx2dx3:
Uı
9. (30 分) 将 (0; ) 上常值函数 f (x) = 1 进行周期 2 奇延拓并展为正弦级数:
dt,
0t
且
考试科目：数学分析
整理：Xiongge，2px4第1页 共1页 Nhomakorabeaf (x)
4 X 1 1 sin(2n 1)x: n=1 2n 1
该 Fourier
lim
n!1
Sn(x
)
级数的前 = 1. 证明
n 项和记为 Sn(x), 则 8x Sn(x) 的最大值点是 2n 且
2 (0; ); Sn(x) =
lim
n!1
Sn
Á2 =
2n
2 Z
Z x sin 2nt 0 sin t sin t dt .
1. (10 分) 证明
lim
Z 2
sinn x
p
dx = 0.
n!+1 0
2x
2.
(10
分)
证明
X 1 1 n=1 1 + nx2
sin
x n˛
在任何有限区间上一致收敛的充要条件是
˛>
1. 2
X 1
X 1
X 1
3. (10 分) 设 an 收敛. 证明 lim ann s = an.
n=1
s!0+ n=1
n=1
4. (10 分) 称 (t ) = (x(t ); y(t )), (t 2 属于某个区间 I ) 是 R2 上 C 1 向量场 (P (x; y); Q(x; y)) 的积分曲线, 若 x0(t ) = P ( (t )),y0(t ) = Q( (t )); 8t 2 I , 设 Px + Qy 在 R2 上处处非 0, 证明向量场 (P; Q) 的积分曲线不可能封闭 (单点情形除外).